线性相关与线性无

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1、线性相关与线性无关习题课,题型一 讨论向量组的线性相关性,解题提示：1，定义法 一般步骤为，假设有k1,k2,.ks使得k11+k22+kss=0，要使上式成立，根据已知条件推断，若k1，k2,.ks 至少有一个不为0，则1，2，s线性相关；若仅当k1，k2,.ks 全为0上式才成立，则1，2，s线性无关。 2，n个n维列向量1，2，n线性相关的充要条件是行列式 1，2，n =0；线性无关的充要条件是行列式 1，2，n 0.,3，一般地，把向量组的向量作为矩阵的行（或列），得矩阵Amn，通过初等变换求其秩r(Amn)，若r=m(m)，则A的行向量组线性无关（相关）；若r=n(n)，则A的列向量

2、组线性无关（相关）。 例1 判断下列命题是否正确。 1，若向量组1，2，n线性相关，那么其中每个向量可由其他向量线性表示。 2，如果向量可由向量组1，2，n线性表示，且表示式是唯一的，那么1，2，n线性无关。,3，如果当且仅当1=2=m=0时才有11+22+mm+ 11+22+mm=0,那么1，2，m线性无关，且1，2m也线性无关。 4，1，2，m线性相关，且1，2m也线性相关，则有不全为零的数1，2，m，使11+22+mm= 11+22+mm,答案：错，对，错，错。,例2 选择题 1，下列命题中正确的是（ ）A. 若1，2，r是一组线性相关的n 维向量，则对于任意不全为0的k1,k2,kr均

3、有k11+k22+krr=0.B. 若1，2，r是一组线性无关的n 维向量，则对于任意不全为0的k1,k2,kr均有k11+k22+krr0.C.若在向量组1，2，r（r2）中任取m(mr)个向量组成的部分组都线性无关，则这个向量组本身也线性无关。D.若1，2，r（r2）是线性相关的，则其中任何一个向量均可由其余向量线性表示。,2,设方阵A的行列式A=0，则A中（ ）A.必有一列元素为0；B.必有两列元素对应成比例；C.必有一列向量是其余向量的线性组合；D.任一列向量是其余列向量的线性组合。 3，设向量组A： 1，2，r可由向量组B:1，2s线性表示，则（ ）A.当rs时，向量组B必线性相关。

4、B.当r s时,向量组B必线性相关。C.当rs时，向量组A必线性相关。D.当r s时,向量组A必线性相关。,4，设有两个向量组（）： 1，2，3和（ ）： 1，2，3，4，则下列各结论正确的是（ ）A.如果（）线性无关，则 （ ）线性无关；B.如果（）线性相关，则 （ ）线性相关；C.如果（ ）线性无关，则 （ ）线性相关；D.如果（ ）线性相关，则 （ ）线性相关。答案： 1，B 2，C 3，D 4，B,题型二 有关向量组线性相关性的证明,思路一：定义法 令k11+k22+krr=0，其中k1。Kr为常数。 思路二：将线性相关性问题转化为齐次线性方程组有无非零解来分析。,例3 设向量组1，2

5、，s线性无关，作线性组合：1=1+1s， 2=2+2s， s-1=s-1+s-1s，则向量组1，2，。s-1线性无关，其中S2, i为任意实数。,证明： 令k11+k22+。+ks-1s-1=0,即k1（1+1s）+k2(2+2s)+ks-1(s-1+s-1s)=0展开整理得k11+k22+ks-1s-1+(k11+k22+ks-1s-1) s=0，由题设1，2，s线性无关，所以，k1=k2=ks-1= k11+k22+ks-1s-1=0,故1，2，。s-1线性无关。,例4 设向量组1，2，s线性无关，并且有 (1)证明： 1，2，。s线性无关的充要条件是,证明：设存在s个常数x1,x2,xs

6、满足x11+x22+xss=0, (2)把（1）代入（2）式得 X1(a111+a1ss)+x2(a211+a2ss)+xs (as11+asss)=0, 即(a11x1+a21x2+as1xs) 1+ (a12x1+a22x2+as2xs) 2+ +(a1sx1+a2sx2+assxs) s=0, 由于1，2，s线性无关， 所以,有 （3）证充分性 因为故DT=D0,因此方程（3）只有零解，即 X1=x2=xs=0, 故1，2，。s线性无关。,证必要性 设1，2，。s线性无关，则齐次线性方程组（3）只有零解等价于而DT=D0,例5 设向量组 与 秩相同且 能经 线性表出. 证明 与 等价.,

7、证明： 【解】设向量组 （1） 与向量组 （2） 的极大线性无关组分别为（3） 和 （4） 由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即,*,因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.,题型三 判断一个向量是否可由一组向量线性表示,解题提示：法一 给定一个向量及向量组1，2，。s，判断是否可由1，2，。s线性表出。 （1）令= k11+k22+。+kss(2)由向量相等关系将上式写成方程组：（3）若方程组无

8、解，则不能由1，2，。s线性表出；若方程组有解，则能由1，2，。s线性表出。,法二：初等行变换法 若r(1，2 ,s)= r(1，2 ,s,)则可由1，2，。s线性表出； 若r(1，2 ,s) r(1，2 ,s,)则不可由1，2，。s线性表出。,例6 设=（0，4，2，5），1=（1，2，3，1），2=（2，3，1，2），3=（3，1，2，-2） ，问是否可表示成1 ，2 ，3的线性组合？,解法一：令=k11+k22 +k33,得k1=1, k2=1, k3=-1, 故=1+2 -3 解法二：初等行变换，略。,题型四 求向量组的极大无关组,思路：初等变换,例7 求下列向量组的一个极大无关组,并

9、将其余向量用此极大无关组线性表示. (1) 1=(1,1,3,1),2=(-1,1,-1,3),3=(5,-2,8,-9),4=(-1,3,1,7);(2) 1=(1,1,2,3),2=(1,-1,1,1),3=(1,3,3,5),4=(4,-2,5,6),5=(-3,-1,-5,-7).,解：(1)以向量组为列向量组成,应用初等行变换化为最简形式.可知,1,2为向量组的一个极大无关组. 设3=x11+x22,即,解得,设4=x31+x42,解得,(2)同理可知, 1、2可作为的一个极大线性无关组， 所以 3=21-2 4=1+32, 5=-21-2,例8 考虑向量组,（1）求向量组的秩； （

10、2）求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示。,分析：根据矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，利用行初等变换将以1，2，3，4，5为列向量的矩阵化为阶梯形，然后在每一个阶梯中选取一个“元素”即构成此向量组的一个极大无关组，同时求得向量组的秩，当阶梯形化为最简时，还可直接得到其余向量用此极大无关组的线性表达式。,解1）,显然矩阵A1的秩为3，故A的秩也为3。,（2）在每一个阶梯中 选一元素，1，2，3构成此向量组的一个极大无关组。进一步把A1化为最简形，,从而有4=2/31+1/32+35=-1/31+1/32+03,题型五 向量组之间的等价性及相互表示,思路：通过线性方程组

11、是否有解进行判断。 例 设向量组（）：1=（1，0，2）T，2=（1，1，3） T, 3=（1，-1，a+2） T，向量组()：1=（1，2，a+3）T，2=（2，1，a+6）T，3= （2，1，a+4）T。试问当a为何值时向量组（）与 ()等价？当a为何值时向量组（）与 ()不等价？,分析：所谓向量组（）与 ()等价，即向量组（）与 ()可以相互线性表出。若方程组x11+x22+x33=有解，即可由1，2，3线性表出。若对同一个a，三个方程组x11+x22+x33=i（i=1,2,3）均有解，即() 可由（）线性表出。,解：,由克莱姆法则知三个线性方程组x11+x22+x33=i（i=1,2

12、,3）均有解， 即() 可由（）线性表出。,由于行列式,故对于任意给定的a，方程组x11+x22+x33=j(j=1，2，3)恒有唯一解，即（）总可由 ()线性表出。 因此，当a-1时，向量组（）与 ()等价。,当a=-1时，,例 确定常数a，使向量组1=（1，1，a）T，2=（1，a，1） T, 3=（a，1，1） T，可由向量组1=（1，1，a）T，2=（-2，a，4）T，3= （-2，a，a）T 线性表示，但向量组1 ，2 ，3不能由1 ，2 ，3线性表示。,分析：若方程组x11+x22+x33=i有解，则i 可由1 ，2 ，3线性表示，若方程组x11+x22+x33=j无解，即j不能由

13、1，2，3线性表出。,解：因为向量组1 ，2 ，3可以由1 ，2 ，3线性表示，故三个方程组x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有解，对增广矩阵进行初等行变换，可见a4且a-2时， 1 ，2 ，3可以由1 ，2 ，3线性表示,向量组1 ，2 ，3不能由1 ，2 ，3线性表示，即方程组x11+x22+x33=j（j=1,2,3）无解 对增广矩阵进行初等行变换，可见a=1或a=-2时， 2 ，3不能由1 ，2 ，3线性表示，因此， a=1时向量组1 ，2 ，3可以由1 ，2 ，3线性表示，向量组1 ，2 ，3不能由1 ，2 ，3线性表示。,近几年研究生考试题,2011年 第5题. 设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记,A. P1P2 B. P1-1P2 C. P2P1 D. P2P1-1,答案：D,第20题 设向量组1 =（1，0，1）T， 2 =（0，1，1）T ，3 =（1，3，5）T不能由向量组1 =（1，1，1）T， 2 =（1，2，3）T，3 =（3，4，a）T线性表示，（1）求a的值；（2）将1 ，2 ，3由1 ，2 ，3线性表示。,