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1、数列通项的求法,数列是高中代数的重要内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的高考试题中占有较大的比重，在这类问题中，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点。,一、观察法,观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数n的内在联系。 适用于一些较简单、特殊的数列。,例1 写出下列数列的一个通项公式an：, ， ， ， ， 1 ， ， ， ， ， ，解出答案来,解：注意分母分别是 22，23，24，25，分子比分母少1， 故,由奇数项特征和偶数项特征得：an=,二、逐差求和法,若数列an满足an+1-an=f(n) (nN)， 其中f(n)是可求和数列，那么可用逐项作
2、 差后累加的方法求an。 适用于差为特殊数列的数列。,例2 求数列1，3，7，13，21，的一个通项公式。,解出答案来,例3 在数列an中，a1=1，an+1=2an+2x3n， 求通项an。解出答案来,注意： 最后一个式子出现 an-1 ，必须验证 n=1，此时 a1=1，适合 上式，故 an=n2-n+1。,解：a2-a1=3-1=2 a3-a2=7-3=4 a4-a3=13-7=6 an-an-1=2(n-1) an-a1=21+2+3+(n-1)=n2-n an=n2-n+1,返回,解：an+1=2an+2x3n an=2an-1+2x3n-1，以上(n-1)个式子相加有 an=2x3
3、n-5x2n-1， 当 n=1时，a1=2x31-5x20=1，适合上式， an=2x3n-5x2n-1 。,返回,三、逐商求积法,若数列an满足 (nN)，其中数列f(n)前 n项积可求，则通项 an可用逐项作商后求积得到。 适用于积为特殊数列的数列。,例4 求数列1，2，8，64，1024，的通项公式an。 解略,例5 在数列an中，a1=2， 求an 。解略 推广：an+1=f(n)an型一般用累乘法。,四、利用Sn与an的关系,利用an= 可解决许多已知an与Sn的关系题目中的an 。,S1=a1(n=1) ， SnSn-1(n2),例6 设an是正数组成的数列，其前 n 项和为Sn，
4、并且对于所有自然数 n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求数列的通项an (1994年高考题) 。,解出答案来,例7 已知数列 an 满足 a1=1，Sn=n2an (n2) ，求通项公式 an 。,解出答案来,解：由题意可知,an+1=Sn+1-Sn (n1) (an+1+an)(an+1-an-4)=0 由题意知 an+1+an0， an+1-an=4 即数列 an 是等差数列，其中 a1=2，d=4 an=4n-2,返回,解：an =,an=n2an-(n-1)2an-1 (n2) 以上(n-1)个式子相乘有又当n=1时，a1=1，符合题意。故该数列通项公式：,1 (n=1)
5、SnSn-1 (n2),返回,五、归纳法,对于一些由递推关系给出的数列，可以通过先研究前 n项的结构与项数 n的内在联系，用不完全归纳法对 an 作出猜想，然后，再用数学归纳法给予证明，这个方法也是求数列通项的一种基本方法。,例8 在正数数列an中，a1=1且 求 an。,解出答案来,解： 解得，a1=1,然后用数学归纳法证明猜想结论的正确性。(略),返回,六、构造等差、等比数列法,对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。,例9 已知数列an满足 a0=4，a1=1，且 an=,解出答案来,解
6、：,所以数列an-an-1 (n2)是以首项为a2-a1=3/2，公比为q=-1/2的等比数列，,继续,当 n=0，1时，有a0=4，a1=1，符合上式，,该数列通项公式为：,返回,例10 各项非0的数列an，首项 a1=1，且2Sn2=2anSn-an (n2)，试求数列的通项 an。,解出答案来,解：2Sn2=2Snan-an，an=Sn-Sn-1 (n2) 2Sn2=2Sn2-2SnSn-1-Sn+Sn-1,又a1=S1=1不适合上式，数列通项公式为：,an=,返回,附：其他例子,例11 a1=3，an+1=2an+1，求 an 。,例12 已知 a1=3，a2=7，an=3an-1-2an-2，求 an 。,例13 已知 a1=3，a2=3，且 an+2=an+1-an，求 an 。,课 件 设 计,
