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1、沥E仁沥明园伟国沥1关的物理量,又能方便地使用数学工具进行出怡沥林朋语和记号岷此奢暴锗1仁uE林意伟国李志巳一、场的概念若对全空间或其中某一区域中每一点Mf,都有一个数量(或向量)与之对应,则称在T上给定了一个数量场(或向量场).例如:温度和密度都是数量场,重力和速度邓是向昱场.地引进了盲角华标系后,点X的位置可由坐标确定.因此给定了某个数量场就等于给定了一个数量函数x(x,y,z),在以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每9533个向量场都与桅个向量函数亘(藁，y，z)=P(x，y，z)i+g(翼，y，z)j+R(x，y，z)k相对应.这里P,Q,R为所定义区域上的数量函数
2、,并假定它们有一阶连续偏导数.设工为向量场中一条曲线,若上每点M处的切线方向都与向量函数4在该点的方向一致,即止_山_止PQR9533则称曲线为向量场4的向量场线.例如电力线、磁力线等都是向量场线.注场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质D毛毛二、梯度场在第十七章8$3中我们已经介绍了梯度的概念,它是由数量函数z(x,y,z)所定义的向量函数6,6:,gradx井一i+二j+一&。R一0y“62gradx是申敏星场泓生出来的一个向星场,称为梯度场.由前文知道,gradx的方向就是使方向导数u/31达到最大值的方向,|gra
3、dx|就是在这个方方向上的方向导数.丁毛因为数量场x(x,y,z)的等值面x(x,y,z)=c的法线方向为叟娄堕，所以gradx恒与x的等值面E正央:引进符号向量|ISCJ6月/=_，_，_3厮缈珑当把它作为运算符号来看待时,梯度可写作旬不咤注V通常称为哈密顿(Hamiltom)算符(或算子),读作“Nablav.梯度有以下一些用9表示的基本性质:.若z,y是数量函数,则V(x+0)二+Vy,2.若zy是数量函数,吸V(x.7)三X(V7)+(V)7.特别地有V(a2)=2x(Vzm).丁毛3.若r=(x,y,z),0=0(x,y,z),则dqg=dr.Vp.4.若一=丁(0),x=x(x,y,z),则古=万(0)Vz.5.若/=/(哪7，m)占万砌(XJJoZ),则古=茎噩Vz.这些公式读者可利用定义来直接验证.9D3例1设质量为m的质点位于原点,质量为1的质点位于M(x,y,z),记r=|0趴|-yaTF+2,试求心的梯度.解a皿_见(z)5士r万y若以丿表示0M6上的单位向量,则有伊-皇933它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.这说明了引力场是数量场誓的梯度场,因此常称誓为引力势.丁毛吊
