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1、电磁场与电磁波,时域有限差分法,第32讲,时域有限差分方法（FDTD）,时域有限差分（FDTD）方法，不仅在三维空间对场量离散，而且在时间轴上也对场量离散，并用差分代替微分，得到麦克斯韦方程在一定边值与初值条件下的近似解。 差分法的优点是，解题有很大的灵活性，缺点是计算工作量大。 如果在x、y、z方向各取Nx、Ny、Nz个离散点，在（t1t2）时间再取Nt个时间间隔，对于一个具体的场问题就要计算（NxNyNzNt）个离散未知量，其计算工作量之大可想而知。近代高速大容量数字计算机的发展，使时域有限差分法的应用成为可能，因而自20世纪80年代以来，时域有限差分法得到了极大的发展。在计算电磁学中得到
2、广泛应用。,基本方程式（适合处理电各向异性介质）,对于单轴晶体,网格划分,E，D和H在空间位置上相差 半个差分步长，以后对时间 差分上E和H也相差半个步长。 这样保证了差分方程的形式 为中心差分，有二阶差分精 度，同时可以获得蛙跳式差 分格式。定义：x，y，z 分别表示在空间x, y, z 三个方向上的差分步长，t 表示时间上的差分间隔。Fn(i, j, k)表示在（ix, jy, kz）位置上nt时刻的场分量。,时间和空间上用差分代替微分,用差分代替微分,时间和空间上用差分代替微分,用差分代替微分,时域有限差分法基本算法,求得D分量后，E分量可以利用 得出 上面诸式给出了从nt 时刻的场计算
3、（n+1）t 时刻的场，它们是FD-TD法的基本算式。,稳定性条件,对于任何一个差分方程组，为了使每一步差分求解所引起的误差不会积累，也就是使差分方程有稳定的解，差分步长x, y, z和t必须满足一定的关系，这种关系称为差分方程的稳定性条件。 从偏微分方程差分解的稳定性条件可以导出：式中vp为所分析波导的最大相速。,边界条件等效电壁、磁壁和介质交界面,电壁：对于切向电场或法向磁场，其值为零；对于法向电场与切向磁场，法线方向导数为零 磁壁：对于切向磁场或法向电场，其值为零；法向磁场与切向电场，法线方向导数为零 介质分界面：相加取平均可得：同样可得Dy，Dz，经组合便得到由此，在求边界上的场量时，
4、可引入一等效介电常数在介质交界面上从D求E时，用 代替 即可。,介质分界面示意图,边界条件开放边界,对于开放边界，严格来说只有向外传播的波，因而这类边界条件也可称之为辐射条件，或者称之为匹配边界条件。 原则上只要使开放的边界在无穷远处，就不会引起反射，但这在计算机模拟时是不可能实现的。处理方法之一： 开放边界问题转化成为电壁、磁壁类边界问题。 在其他条件完全相同的情况下，一个边界等效开路（0=1）与另一个边界等效短路（s=1）的场分布的叠加可以得到一个匹配边界（=0）条件下的场分布，即 这样就把原来难于处理的开放边界问题转化为电壁、磁壁类边界问题。 这一方法只能用于线性系统。而且当结构具有n个
5、开放边界时，必须计算2n个等效结构的场分布。,边界条件开放边界,处理方法之二： （n+1）t 时刻，开放边界（i, j, k）上的值可用nt 时刻开放边界上的值以及边界内（i, j, k1）网格上（n+1）t 时刻的场来近似。 假设开放边界在z=kz处，且在这 一平面内只有向正z方向传播的波 vz表示成： 取一阶近似将上式代入式（1）可得：这就是开放边界的一阶近似表达式。由此把F 看成切向电场并对式（2）进行差分近似，可得到：上式即为开放边界条件的一阶近似差分表达式。,边界条件开放边界,处理方法之三：是对一阶近似差分表达式的改进 c0用vp来代替， 假设 可以通过选择t与eff使 M为整数。对
6、式 进行差分离散并进行一些处理可得：利用上式，开放边界上的场就可以从边界内场求得。 由于假设eff为常数，在边界上仍有3%5%的反射。 为了减少这一误差，对接近于开放边界的切向磁场也进行类似处理式（1）和式（2）虽然都有误差，但这两个误差总是具有相反的符号，且幅度总是保持固定的比例。所以只要对这两个磁场值按一定的比例进行加权平均就可以大大减小磁场值的误差。,边界条件开放边界,处理方法之四：完全匹配层（PML）吸收边界 通过在FDTD区域截断边界处设置一种特殊介质层，该层介质的波阻抗与相邻介质波阻抗完全匹配，因而入射波将无反射地穿过分界面而进入PML层，并且PML层为有耗介质，进入PML层的透射
7、波将迅速衰减，即使PML为有限厚度，它对于入射波仍有很好的吸收效率。开放边界条件的有效处理是FDTD法研究的一个重要课题，不断有新的成果报导，前面介绍的是最基本的几种处理方法。使用FDTD法时，请注意有关这方面的最新研究成果。至此，利用麦克斯韦方程的差分表达式及波导结构的边界条件，即可由nt 时刻的场分布得到（n+1）t 时刻的场。如已知某一t0 时刻的场分布，则t0 以后任何时刻场分布都可以得到。所以在t =0这一时刻的场（称之为初始激励场）的选择就成为FDTD法又一个重要问题。,初始激励信号的选择,选择高斯脉冲作初始激励信号：频谱丰富，波形在时间分布上光滑 在z =z0和t =t0时有最大
8、的幅度。T，t0, z0的选择必须满足一定的要求。脉冲宽度需覆盖10个步长，即：当高斯脉冲的宽度选定时，其频谱最大值： t0与z0的选择，使初始激励场从t =0到t =0+的变化很小，以免引入过多的高频分量。 初始激励脉冲波形确定以后，t =0时所研究波导空间场分布一般只指定z =z0输入平面的场分布，其他地方所有场分量均假定为零。 只要激励场的空间分布比较接近实际的场分布，就可以花费较短的时间获得足够的计算精度。,FDTD数值求解的步骤,1.将时域麦克斯韦方程组的旋度方程展开成其坐标分量式，用中心有限差分式替代各场分量对空间、对时间的微分，得到FDTD基本方程式。 2.决定空间网格基本单元尺
9、寸x, y, z。 （1）由六面形的基本单元组成的空间网格能较好地拟合任意被研究的空间媒质； （2）尽可能减小网格空间数值模的数值色散。 为了减小数值色散，应满足 ，=min(x, y, z)，min是被研究媒质空间的最小波长值（对应最高频率）。 3.选择时间步长t。t 应选择得使数值计算稳定 vpmax是问题空间中工作模的最大波相速。一般选取， ，是x, y和z的最小值。 4.决定问题空间的大小。 （1）能将被研究的媒质“装入”； （2）边界条件的设置需在每一个轴向上占用约4个单元； （3）信号源的设置位置； （4）连接边界的设置（将总场与散射场分区域）。 被研究媒质的边界与全空间边界的间隔
10、，宜选用610个网格单元。 5.沿网格空间的外表面设置吸收边界条件。,FDTD数值求解的步骤,6、选用和设置激励源。 频域FDTD计算时，激励源一般为时谐波形式。 对于时域计算，激励源一般是时变冲激函数形式，此时需考虑源的频谱分布，特别是最高频率成分（对应min），这个值又是决定网格单元尺寸和时间步长的依据。 7、决定运算的总时间步数。 频域计算时，由于源是谐变场，为了使得散射体内外场达到稳定状态，计算的总时间至少大于三个谐变周期T，即时间步数为对于时域计算，设t0时，时变脉冲源场值等于零，脉冲的持续期为Td。由于它包含一定宽度的频谱，应使主要频谱部分的信号达到稳定状态，特别应使低端频谱信号达
11、到稳定状态，所需的总时间一般比Td大得多。8、估算计算存储量。（1）空间网格点的六个场分量值，总数为6NxNyNz； （2）计算空间各网格单元电参数（、）的赋值，通常电参数仅是位置的函数，某些媒质还应考虑在三个轴向上有不同的值； （3）时域计算时，需存储某些空间场点上的时域信息（时间步数为Nt）； （4）由计算的场值推演派生而得所需参数的空间、时间分布等。 当计算空间尺寸大于五个波长时，一般均占用较大的存储量。,FDTD 应用举例屏蔽阶跃微带线,z=30z, 50z, 70z, 90z截面，高斯脉冲随时间变化 高斯脉冲在z=0处激励， Ey均匀分布于导带下面 的网格节点上，其他任 何地方场分量
12、都为零。,FDTD 应用举例开路微带线的S参数,开路微带线S11与频率关系 H =0.6mm，w =0.6mm，r =9.6。 x =y =z =h =H/10。 （N1x）（N2y），N1 =40，N2 =120。 N3z，N3 =190。l1z，l1=120。 vpt /h =0.514。T =40t，t0 =350t。,FDTD 应用举例微带隙缝的S参数,微带线尺寸与导电薄片终端开路的 微带线相同，隙缝S与基片厚度H之 比S/H=0.5。微带隙缝是二端口网络， 其散射参数为,第32讲复习,复习要点 FDTD法不仅在空间三个坐标轴上而且在时间坐标轴上用差分代替微分，从而从麦氏方程得出以nt时刻的场计算（n+1）t时刻的场基本关系式。 FDTD法得到正确解，差分步长x, y, z和t必须满足稳定性条件，边界条件的正确处理则是FDTD法解题的关键一着，而初始激励场的选择也是一个重要问题。如果初始激励场选择恰当就可在较短时间内收敛到正确解。 复习范围 12.6 帮助理解的多媒体演示：MMS23,
