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1、8.1 换路定律与初始条件 8.2 一阶电路的零输入响应 8.3 一阶电路的零状态响应 8.4 一阶电路的全响应 8.5 一阶电路的三要素法 *8.6 RLC串联电路的零输入响应,第8章 线性电路中的过渡过程,8.1 换路定律与初始条件8.1.1 过渡过程的概念,图 8.1 过渡过程演示电路图,在电路理论中, 通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等）, 统称为换路。换路是外因, 电路中有储能元件（也叫动态元件）是内因。,8.1.2 换路定律 具有电感的电路,2. 具有电容的电路,8.1.3 初始值的计算换路后的最初一瞬间（即t=0+时刻）的电流、电压值, 统称为
2、初始值。,例8.1 图8.2（a）所示电路中, 已知Us=12V, R1=4k, R2=8k, C=1F, 开关S原来处于断开状态, 电容上电压uC(0-)=0。求开关S闭合后, t=0+时, 各电流及电容电压的数值。,图 8.2 例 8.1电路图 (a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路,解 选定有关参考方向如图所示。 (1) 由已知条件可知: uC(0-)=0。(2) 由换路定律可知: uC(0+)=uC(0-)=0。(3) 求其它各电流、电压的初始值。画出t=0+时刻的等效电路, 如图8.1（b）所示。由于uC(0+)=0, 所以在等效电路中电容相当于短路。故有,由KCL有iC(
3、0+)=i1（0+）-i2（0+）=3-0=3mA。,例8.2 如图8.3（a）所示电路, 已知Us=10V, R1=6, R2=4, L=2mH, 开关S原处于断开状态。求开关S闭合后t=0+时, 各电流及电感电压uL的数值。 ,图8.3 例 8.2 电路图 (a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路,解 选定有关参考方向如图所示。 (1) 求t=0-时电感电流iL(0-)。 由原电路已知条件得,(2) 求t=0+时iL(0+)。 由换路定律知,(3) 求其它各电压、电流的初始值。画出t=0+时的等效电路如图8.3（b）所示。由于S闭合, R2被短路, 则R2两端电压为零, 故i2(0
4、+)=0。 由KCL有,由KVL有,例8.3 如图8.4（a）所示电路, 已知Us=12V, R1=4, R2=8, R3=4, uC（0-）=0, iL（0-）=0, 当t=0时开关S闭合。 求当开关S闭合后, 各支路电流的初始值和电感上电压的初始值。,图8.4 例 8.3电路图 (a) 电原理图； (b) t=0+时的等效电路,解 (1) 由已知条件可得,(2) 求t=0+时, uC(0+)和iL（0+）的值。 由换路定律知,（3） 求其它各电压电流的初始值。,8.2 一阶电路的零输入响应 只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。,8.2.1 RC串联电路的零输入响应,图8.7 一阶RC电路
5、的零输入响应 (a) 电路图； (b) 换路瞬间等效电路,根据KVL, uR=uC=Ri, 而i=-C(duC/dt)(式中负号表明iC与uC的参考方向相反)。将i=-C(duC/dt)代入uC=Ri得,由换路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即 将A=U0代入式（8.6）, 得,的数值大小反映了电路过渡过程的快慢, 故把叫RC电路的时间常数。,图 8.8 一阶 RC电路的零输入响应波形 (a) uC波形； (b) i波形,表8.1 电容电压及电流随时间变化的规律,例8.4 供电局向某一企业供电电压为kV, 在切断电源瞬间, 电网上遗留有 的电压。已知送电线路长L=30km, 电网
6、对地绝缘电阻为500M, 电网的分布每千米电容为C0=0.008 F/km, 求(1) 拉闸后1分钟, 电网对地的残余电压为多少？(2) 拉闸后10分钟, 电网对地的残余电压为多少？解 电网拉闸后, 储存在电网电容上的电能逐渐通过对地绝缘电阻放电, 这是一个RC串联电路的零输入响应问题。 由题意知, 长30 km的电网总电容量为,放电电阻为,时间常数为,电容上初始电压为,在电容放电过程中, 电容电压(即电网电压)的变化规律为,故,8.2.2 串联电路的零输入响应,图 8.9 一阶RL电路的零输入响应,由KVL得,而uR=iLR, uL=L(diL/dt)。故,或,图 8.10 一阶RL电路的零
7、输入响应波形,(1) 一阶电路的零输入响应都是按指数规律随时间变化而衰减到零的。(2) 零输入响应取决于电路的初始状态和电路的时间常数。,8.3 一阶电路的零状态响应若在一阶电路中, 换路前储能元件没有储能, 即uC（0-）, iL（0-）都为零, 此情况下由外加激励而引起的响应叫做零状态响应。 8.3.1 RC串联电路的零状态响应 ,图 8.12 RC电路的零状态响应,由KVL有,将各元件的伏安关系uR=iR和 代入式(8.11)得,（8.11）,(8.12),(8.13),(8.14),(8.15),上式中=RC。,将式（8.14）、（8.15）代入式（8.13）, 得,于是,式中, Us
8、为电容充电电压的最大值, 称为稳态分量或强迫分量。,是随时间按指数规律衰减的分量，称为暂态分量 或自由分量。,。,图 8.13 RC 电路的零状态响应曲线,例8.5 如图8.14(a）所示电路, 已知Us=220V, R=200, C=1F, 电容事先未充电, 在t=0时合上开关S。求(1） 时间常数; （2） 最大充电电流; （3） uC, uR和i的表达式; （4） 作uC , uR和i随时间的变化曲线; （5） 开关合上后1ms时的uC, uR和i的值。 ,解 （1） 时间常数,（2） 最大充电电流,（3） uC, uR, i的表达式为,（4） 画出uC, uR, i的曲线如图8.14(
9、b)所示。 ,图 8.14 例8.5 图,（5） 当 时,8.3.2 RL串联电路的零状态响应,图8.15 一阶RL电路零状态响应电路,由KVL有: uR+uL=Us。 根据元件的伏安关系得,即,(8.22),即,将A=-Us/R 代入式(8.22), 得,式中, I=Us/R。,求得电感上电压为,图8.16 一阶RL电路零状态响应波形,例8.5 如图8.14(a）所示电路, 已知Us=220V, R=200, C=1F, 电容事先未充电, 在t=0时合上开关S。 求(1） 时间常数; （2） 最大充电电流; （3） uC, uR和i的表达式; （4） 作uC , uR和i随时间的变化曲线;
10、（5）开关合上后 1 ms时的uC, uR和i的值。 ,解 （1） 时间常数,（2） 最大充电电流,（3） uC, uR, i的表达式为,（4） 画出uC、 uR、 i的曲线如图8.14(b)所示。,图 8.14 例8.5 图,（b）,（5） 当t=1ms=10-3s 时,8.3.2 RL串联电路的零状态响应,图8.15 一阶RL电路零状态响应电路,由KVL有: uR+uL=Us。根据元件的伏安关系得,即,(8.22),即,将A=-Us/R 代入式(8.22), 得,式中,I=Us/R。,求得电感上电压为,图8.16 一阶RL电路零状态响应波形,例8.6 图8.17所示电路为一直流发电机电路简
11、图, 已知励磁电阻R=20, 励磁电感L=20H, 外加电压为Us=200V, 试求（1）当S闭合后, 励磁电流的变化规律和达到稳态值所需的时间; (2) 如果将电源电压提高到250V, 求励磁电流达到额定值的时间。 ,图8.17 例 8.6图,解 (1） 这是一个RL零状态响应的问题, 由RL串联电路的分析知:,式中Us=200 V, R=20 , =L/R=20/20=1s, 所以,一般认为当t=（35）时过渡过程基本结束, 取t=5, 则合上开关S后, 电流达到稳态所需的时间为5秒。,（2） 由上述计算知使励磁电流达到稳态需要5秒钟时间。,图8.18 强迫励磁法的励磁电流波形,8.4 一
12、阶电路的全响应当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时, 电路中所产生的响应叫做一阶电路的全响应。,图 8.19 一阶RC电路的全响应,由KVL有,由初始条件:uC(0+)=uC(0-)=U0, 代入上式有U0=Us+A, 即A=U0-Us。所以, 电容上电压的表达式为,由式（8.26）可见, Us为电路的稳态分量, 为电路的暂态分量, 即 全响应=稳态分量+暂态分量,(8.26),有三种情况: (a) U0Us,图 8.20 一阶RC电路全响应曲线,电路中的电流为,上式中 是电容初始值电压为零时的零状态响应, 是电容初始值电压为U0时的零输入响应。 故又有,全响应=零状态响应+零输入响应,(8
13、.27),例8.7 图8.21所示电路中, 开关S断开前电路处于稳态。 设已知Us=20V, R1=R2=1k, C=1F。求开关打开后, uC和iC的解析式, 并画出其曲线。 ,图8.21 例 8.7图,解 选定各电流电压的参考方向如图所示。 因为换路前电容上电流iC（0-）=0, 故有,换路前电容上电压为,即 U0=10V。,由于UoUs, 所以换路后电容将继续充电, 其充电时间常数为,将上述数据代入式(8.26) , (8.27), 得,uC , iC随时间的变化曲线如图8.22所示。,图8.22 例8.7 uC、iC随时间变化曲线,例8.8 如图8.23(a)所示电路, 已知Us=10
14、0V, R0=150, R=50, L=2H, 在开关S闭合前电路已处于稳态, t=0时将开关S闭合, 求开关闭合后电流i和电压UL的变化规律。 ,图8.23 例8.8图 (a) 电路图； (b) 零输入； (c) 零状态,解法1 全响应=稳态分量+暂态分量 开关S 闭合前电路已处于稳态, 故有,当开关S 闭合后, R0被短路, 其时间常数为,电流的稳态分量为,电流的暂态分量为,全响应为,由初始条件和换路定律知,故,即,所以,解法2 全响应=零输入响应+零状态响应电流的零输入响应如图8.23 (b)所示, i(0+)=I0=0.5A。于是,电流的零状态响应如图8.23 (c)所示, i(0+)
15、=0。所以,全响应,8.5 一阶电路的三要素法,稳态值, 初始值和时间常数, 我们称这三个量为一阶电路的三要素, 由三要素可以直接写出一阶电路过渡过程的解。 此方法叫三要素法。 设 f（0+）表示电压或电流的初始值，f（）表示电压或电流的新稳态值,表示电路的时间常数, f（t）表示要求解的电压或电流。这样, 电路的全响应表达式为,（8.30）,表 8.2 经典法与三要素法求解一阶电路比较表,表 8.2 经典法与三要素法求解一阶电路比较表,下面归纳出用三要素法解题的一般步骤: (1) 画出换路前（t=0-）的等效电路。求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)。 (2) 根据换路定律uC(0+)=uC(0-), iL(0+)=iL(0-), 画出换路瞬间（t=0+）时的等效电路, 求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+), 即f(0+)。(3) 画出t=时的稳态等效电路（稳态时电容相当于开路, 电感相当于短路）, 求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i()或u(), 即f()。(4) 求出电路的时间常数。=RC或L/R, 其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储能元件两端看进去, 用戴维南或诺顿等效电路求得的等效内阻。 (5) 根据所求得的三要素, 代入式(8.30)即可得响应电流或电压的动态过程表达式。,
