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1、1/34,2015-10-13,第三章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,目录 上页 下页,2/34,2015-10-13,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,导数的概念,第三章,目录 上页 下页,3/34,2015-10-13,目录 上页 下页,4/34,2015-10-13,一、 引例,1. 变速直线运动的速度
2、,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,目录 上页 下页,5/34,2015-10-13,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,目录 上页 下页,6/34,2015-10-13,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,目
3、录 上页 下页,7/34,2015-10-13,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,目录 上页 下页,8/34,2015-10-13,目录 上页 下页,在点 不可导.,也称,在,则称函数,的导数为无穷大 .,9/34,2015-10-13,注：运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,此外: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,目录 上页 下页,10/34,2015-10-13,例1. 设,存在, 求极限,解: 原式,目录 上页 下页,11/34,2015-
4、10-13,是否可按下述方法做:,例2. 设,存在, 求极限,解:,目录 上页 下页,12/34,2015-10-13,目录 上页 下页,13/34,2015-10-13,例3. 设,存在, 求,目录 上页 下页,14/34,2015-10-13,定义2 若函数在开区间 I 内每点都可导,内可导，此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,导数与导函数:,则称函数在 I,目录 上页 下页,15/34,2015-10-13,例4. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例5. 求函数,解:,目录 上页 下页,16/34,2015-10-13,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（后
5、面将证明）,目录 上页 下页,17/34,2015-10-13,例6. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,目录 上页 下页,18/34,2015-10-13,例7. 求函数,的导数.,解:,即,或,目录 上页 下页,特殊地，,19/34,2015-10-13,三、 导数的几何意义,若,切线与 x 轴平行；,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,目录 上页 下页,20/34,2015-10-13,例8. 问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即
6、,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,目录 上页 下页,21/34,2015-10-13,四、 函数的可导性与连续性的关系,目录 上页 下页,22/34,2015-10-13,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以,在点 x 连续 .,注: 函数在点 x 连续未必可导（见例9）.,即,目录 上页 下页,23/34,2015-10-13,例9. 证明函数,在 x = 0处连续，但不可导.,证:,不存在 ,目录 上页 下页,24/34,2015-10-13,例10. 设, 问 a 取何值时,在,内都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x
7、 = 0 连续 .,目录 上页 下页,25/34,2015-10-13,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,例11.设,故,目录 上页 下页,26/34,2015-10-13,在点,的某个右 邻域内,五、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x = 0 处有,定义2 . 设函数,有定义,存在,目录 上页 下页,27/34,2015-10-13,定理2. 函数,在点,且,存在,简写为,定理3. 函数,(左),(左),若函数,与,都存在 ,则称,显然:,在闭区间 a , b 上可导,在开
8、区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,目录 上页 下页,28/34,2015-10-13,例12.,目录 上页 下页,29/34,2015-10-13,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,目录 上页 下页,30/34,2015-10-13,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,目录 上
9、页 下页,31/34,2015-10-13,2. 已知,则,3. 若,时, 恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,目录 上页 下页,32/34,2015-10-13,解:,4. 设,存在, 且,求,目录 上页 下页,33/34,2015-10-13,5.,目录 上页 下页,34/34,2015-10-13,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,目录 上页 下页,35/34,2015-10-13,莱布尼兹(1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,目录 上页 下页,
