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1、第五章 平面问题的求解,要点, 建立直角坐标和极坐标下的平面问题基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等,应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这 3 类基本未知函数与第 3 个坐标方向（一般取 z 方向）无关时，则将该类问题称为平面问题。,5-1 两类平面问题,平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。,弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。,1. 平面应力问题,(1) 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。, 等厚薄平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2) 受力特征,外力
2、（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3) 应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2. 平面应变问题,(1) 几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。, 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约
3、束 沿长度 z 方向不变化。,(3) 变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。, 平面位移问题, 平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：, 仅为 x y 的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平
4、面问题,3. 平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：, 仅为 x y 的函数,建立平面应力（或应变）条件下的基本方程：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：, 平衡微分方程, 几何方程, 物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,5-2 平面问题的基本方程和边界条件 空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）,1. 平衡微分方程,对平面应力问题,对平面应变问题, 仅为 x y 的函数。,平面问题的平衡微分方程：,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知
5、量：, 超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,2.几何方程,平面应变,平面应力,注：平面应力问题的解为近似解！,平面应力问题， 但,由,有,对薄板，可认为上两式近似为零，故平面应力问题的解为近似解。,3.物理方程,1. 各向同性弹性体的物理方程,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为泊松比。,(应力与应变的关系),（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中, 平面应力问题的
6、物理方程,注：,(1),(2), 物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中, 平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：, 平面应变问题的物理方程, 平面应力问题的物理方程,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,4.边界条件,1. 弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）几何方程：,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,2.
7、 边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界, 三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：, 平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。, 平面问题的应力边界条件,(2) 力的边界条件,(1)边界面力为合力时，面力正负号的确定,边界面力分量的矢量方向指向坐标轴的正向为正，反之为负,(2)边界面力为合力矩时，力矩正负号的确定,x,y,Ms,3.力的边界条件的具体
8、化,x,y,Ms（+）,右手法则，母指指向z轴的正向为正，反之为负,x,y,Ms（-）,x,y,Ms（+）,Ms（-）,x,y,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y = 0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x = l）：,(3),AC段（y =x tan ）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：, 平
9、面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得, A 点处无应力作用,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例6,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例6,上侧：,下侧：,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图(a)：, 位移边界条件
10、, 应力边界条件,图(b)：, 位移边界条件, 应力边界条件,5-3 平面问题求解方法,1.弹性力学问题的求解方法,（1）按位移求解（位移法、刚度法）,以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。,（2）按应力求解（力法，柔度法）,以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,（3）混合求解,以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,2. 位移求解平面问题及基本方程,（1）平衡方程：,（1）,（2）
11、边界条件：,位移边界条件：,（2）,应力边界条件：,（3）,说明：,（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,3.按应力求解平面问题及基本方程（相容方程）,按应力求解平面问题的未知函数：,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从形变、形变与应力的关系建立补充方程。,1）变形协调方程（相容方程）,将几何方程：,（1）平面应力情形 2) 变形协调方程的应力表示,将物理方程,（a）,代入,利用平衡方程,将两式相加：,（b）,将（a）式化简：,将 (b) 代入 (a) ，得：,将 上式整理得：,应力表示的
12、相容方程,（平面应力情形）,（2）平面应变情形,将 上式中的泊松比代为： ， 得,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意：,当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,3) 按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（1）对位移边界问题，不易按应力求解。,（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,例,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计
13、体力）。,（1）,（2）,（a）,（b）,解,（1）,将式（a）, 满足,将式（a）代入相容方程：, 式（a）不是一组可能的应力场。,代入平衡方程：,（2）,解,将式（b）,式（b）满足相容方程， （b）为可能的应变分量。,代入应变表示的相容方程：,例,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程和相容方程？,（a）,式（a）是否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,式（a）满足相容方程。,再验证，式（a）是否满
14、足边界条件？, 满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解,代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式(a)为非齐次方程，其解：,全解 = 齐次方程通解,1）平衡微分方程解的形式,(1) 特解,常体力下特解形式：,+非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(2) 通解,式(a) 的齐次方程：,(c),(d),的通解。,4.按应力函数求解平面问题应力函数解法,将式(d)第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得,(e),(f),同理，将式(d)第二式改写为,(g),(h),比较
15、式( f )与(h)，有,也必存在一函数 B(x,y)，使得,由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得,(i),(j),将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解,(k), 对应于平衡微分方程的齐次方程通解。,(3) 全解,取特解为：,则其全解为：,(2-26), 常体力下平衡方程（a）的全解。,由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,(x,y) 平面问题的应力函数, Airy 应力函数,2）相容方程的应力函数表示,将式（2-26）代入常体力下的相容方程：,有：,注意到体力 X、 Y 为常量，有,将上式展开，有,(2-27), 应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,式（2-27）可简记为：,或：,式中：,满足方程(2-27)的函数(x,y) 称为重调和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数应为一重调和函数,按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为：,（1）,(2-27),
