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1、第五节 行列式,1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 n 阶行列式的定义 4 行列式的性质 5行列式按一行（列）展开法则,5.1 二阶与三阶行列式,一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 三、小结 思考题,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)
2、沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明: 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则，有,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,三、小结,5.2 全排列及其逆序数,一、概念的引入 二、全排列及其逆序数 三、小结 思考题,一、概念的引入,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,种放法.,共有,二、全排列及其逆序数,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,在一个排列 中，
3、若数则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,方法,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的个数，即算出这个排列中每个元素的逆序数，则每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,例1 求排列32514的逆序数.
4、,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,2 排列具有奇偶性.,3 计算排列逆序数常用的方法,1 个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,5.3 n阶行列式的定义,一、概念的引入 二、n 阶行列式的定义 三、小结 思考题,一、概念的引入,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2
5、）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n 阶行列式的定义,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、 的符号为,例1 计算对角行列式,分析,展开式中非零项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项只可能为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中非零项的一般形式是,所以不为零的项只
6、可能有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,依行列式定义,证毕,阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,5.4 行列式的性质,一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结 思考题,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.,性质3 如果行列式的两行(列)相同,行列式为零.,即行列式,若aij=akj , j=1,2,则 D
7、= 0.,性质4 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,注意：因为数乘矩阵是指用这个数去乘矩阵的每个元素，所以数乘行列式与数乘矩阵很不相同.,推论1 设A为n阶方阵，k为常数，则有 推论2 若A中存在一个零行，则A=0. 推论3 若A中有两行成比例，则A=0.,性质5 若A中的某行各元素都是两数之和：,则有如下,性质6 把A的某一行的k倍加到另一行上去，设所得到的方阵为B，则,证明,上式右端第2个行列式中第i行与第j行成比例，由性质4的推论3，它等于零.上式右端第1个行列式就是det（A）.所以,性质7 设A、B为同阶方阵，则,即方阵乘积的行列式等于它们的行列
8、式的乘积.,例如， 对矩阵,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例3,证明,证明,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,5.4 行列式按一行(列)展开法则,一、余子式与代数余子式 二、行列式按行（列）展开法则 三、小结 思考题,由三阶行列式的概念,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式
9、，如果其中第 行所有元素除 外都为零,那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,再证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例 3 计算行列式,解,1. 行列式按行（列）展开法是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,第六节 逆矩阵,一、概念的引入 二、逆矩阵的
10、概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、小结 思考题,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵 ，,如果存在一个矩阵 ,使得,二、逆矩阵的概念和性质,例 设,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,例 设,解,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,又因为,所以,定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且,证明,若 可逆，,按逆矩阵的定义得,证毕,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,推论,证明,
11、逆矩阵的运算性质,证明,证明,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,同理可得,故,解,例2,例3 设,解,于是,例4,例5,解,给方程两端左乘矩阵,给方程两端右乘矩阵,得,给方程两端左乘矩阵,得,给方程两端右乘矩阵,解,例6,解,例7,四、小结,逆矩阵的概念及运算性质.,逆矩阵的计算方法,逆矩阵 存在,思考题,思考题解答,答,第七节 克拉默法则,一、克拉默法则 二、重要定理 三、小结 思考题,则二元线性方程组的解为,非齐次与齐次线性方程组的概念,n元线性方程组,若常数项,不全为零,则称方程组(1)为非,齐次线性方程组;,若,全为零,组为齐次线性方程组.,此时称方程,(1),一、克拉默
12、法则,记D为(1)的系数行列式, Dj为用常数列代替D的第j列元素所得到的n阶行列式, 即,定理1,(克莱姆法则),若线性方程组(1)的系数行列式,则方程组(1)有唯一解:,证明:,用D的第j 列元素的代数余子式,依次乘方程组(1)的n个方程,再把 n 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,上式中xj 的系数为D,而其余xi (i j)的系数均为0,等式右边即是Dj ,于是上式化为,当D0时，方程组(1)有唯一解,反过来，将解(2)代入方程组(1)，容易验证,即(2)式是方程组(1)的解.,二、重要定理,定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,定 理 如果齐次线性方程组 的系数行列式则齐次线性方程组 只有零解.,有非零解.,系数行列式,例1 用克拉默法则解方程组,解,例2 用克拉默法则解方程组,解,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,
