《2017－2018学年北师大版数学必修5教学课件：第一章数列1.2.1.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017－2018学年北师大版数学必修5教学课件：第一章数列1.2.1.1（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 等差数列,2.1 等差数列,第1课时 等差数列的定义和通项公式,1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数就叫作等差数列的公差,通常用字母d表示. 【做一做1】下列数列是等差数列的是( ),答案:D,归纳总结理解等差数列注意以下几点 (1)等差数列的定义还可以用数学符号语言表述为:在数列an中,如果an+1-an=d(常数)对任意nN+(或an-an-1=d(常数)对任意nN+且n2)都成立,那么称数列an为等差数列,常数d称为等差数列的公差. (2)要注意定义中的an+1-an=d(常数)是对任意nN+(或an
2、-an-1=d(常数)对任意nN+且n2)都成立,如有一项不满足,则an就不是等差数列.例如,数列1,1,2,3,4,5,就不是等差数列. (3)常数列是公差等于0的等差数列. (4)等差数列的公差d一定是由后一项减去前一项所得,不能颠倒顺序.,2.等差数列的通项公式 设等差数列的首项为a1,公差为d,an为它的通项,则an=a1+(n-1)d. (1)等差数列通项公式的推导方法 除了教材中介绍的归纳法以外,还可用以下几种方法推导等差数列的通项公式: (叠加法)由等差数列an的定义得a2-a1=d,a3-a2=d,an-1-an-2=d,an-an-1=d(n2), 将这(n-1)个式子的等号
3、两边分别相加,得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d(显然n=1时,a1也满足该式). 叠加法是推导an+1-an=f(n)型数列的通项公式的一种重要方法. (迭代法)an是等差数列,an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d(n2), an=a1+(n-1)d(显然n=1时,a1也满足该式).,(3)等差数列通项公式的函数特征 等差数列的通项公式是n的一次函数或是常数函数. 由an=a1+(n-1)d,得an=dn+(a1-d). 设d=p,a1-d=q,则上式变为an=pn+q.由此可见,等差数列的通项公式是
4、n的一次函数(公差d0)或常数函数(公差d=0). 若数列的通项公式为an=pn+q(p,q为任意实数),则数列an是等差数列. 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是n的一次函数或常数函数,所以其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率.,(4)等差数列通项公式的应用 已知等差数列的首项和公差,可以求得这个数列的任意一项; 在等差数列中,已知a1,n,d,an这四个量中的三个,可以求得另一个量; 等差数列的首项a1和公差d称为等差数列的“基本量”,列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法.,【做一做2】(2
5、016福建福州高二检测)2 017是等差数列1,4,7,10,的第( ) A.673项 B.672项 C.671项 D.670项 答案:A 【做一做3】在数列an中,a1=2,2an+1=2an+1,则a2 017的值是( ) A.1 010 B.1 009 C.1 008 D.1 007 答案:A,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)等差数列的公差不能为0. ( ) (2)若一个数列从第三项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,则该数列为等差数列. ( ) (3)若一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差是常数,则该数列为等差数列. ( ) (4
6、)若数列an满足an=pn+q,nN+(其中p,q为常数),则数列an一定为等差数列. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 (1)下列各数列是等差数列的是 . 2,2,2,2;cos 0,cos 1,cos 2,cos 3;3m,3m+a,3m+2a,3m+3a; a-3,a+1,a+5.,(1)答案: (2)分析:要证明三个数成等差数列,只要证明中间位置的数的2倍是另外两个数的和即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟判断或证明一个数列是不是等差数列的方法 (1)若数列为有穷数列且各项已给出,可直接计算每一项与其前一项的差,按定
7、义判断即可; (2)若数列的通项公式已给出,可根据定义判断an+1-an=d(nN+)是否满足即可,即若d是与n无关的常数,则是等差数列;否则,不是等差数列; (3)要证明一个数列不是等差数列,只需举一个反例进行否定,也可证明an+1-an或an-an-1(n2)不是一个常数,而是一个与n有关的变数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】(1)已知an为等差数列,且其前三项为a,2a-1,10-a,试求an的通项公式以及第20项; (2)在等差数列an中,若a7=12,a15=4,求a30,并判断20是否是该数列中的项. 分析:(1)由前三项
8、求出a的值,从而得首项和公差,即可求出通项公式;(2)由a7和a15的值建立a1与d的方程组,求出a1与d的值即可求a30,并根据通项公式判断20是否是其中的项.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)因为a,2a-1,10-a是等差数列的前三项,所以2(2a-1)=a+10-a,整理得4a=12, 所以a=3,即前三项依次为3,5,7, 因此首项a1=3,公差d=5-3=2.于是an的通项公式为an=3+2(n-1),即an=2n+1. 数列an的第20项a20=220+1=41. (2)设an的公差为d,于是an的通项公式为an=18-(n-1),即an=19-n. 所以a30=19
9、-30=-11. 令19-n=20,解得n=-1N+. 所以20不是该数列中的项.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 已知等差数列an,a5=11,a8=5,求通项an. 解:设数列an的公差为d,解得a1=19,d=-2, 所以,数列an的通项公式an=19+(n-1)(-2)=21-2n.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】 已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数. 分析:根据题意可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,利用已知条件,求出a,d,进而求出这四个数. 解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d. 则由题
10、设,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟已知几个数成等差数列,并满足其他条件,求这几个数时,通常采用如下设法:当等差数列an的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再以公差d向两边分别设项:,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,;当项数n为偶数时,可设中间两项分别为a-d,a+d,再以公差2d向两边分别设项:,a-3d,a-d,a+d,a+3d,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得本例错解都对“从第10项开始比1大”这句话理解不透彻,
11、由等差数列的增减性知,这句话的含义表明a101,但里面也隐含着a91这一条件.因此解决等差数列的此类问题时要多结合等差数列本身的增减性.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 已知首项为-24的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d的取值范围为 .,1,2,3,4,5,1.若一个无穷数列an的前4项分别是1,2,3,4,则下列说法中正确的是( ) A.它一定是等差数列 B.它一定是递增数列 C.通项公式是an=n D.以上结论都不一定正确 解析:仅给出数列的前4项,后面的项未知,所以不能确定该数列一定是等差数列或递增数列,通项公式也不一定是an=n. 答案:D,1,2,3,4,5,2.
12、已知an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于( ),答案:B,1,2,3,4,5,3.等差数列1,-1,-3,-89共有 项. 答案:46,1,2,3,4,5,4.已知三个数成等差数列,它们的和等于15,且前两个数之积等于10,则这三个数分别为 . 解析:设三个数分别为a-d,a,a+d,则有,因此三个数分别为2,5,8. 答案:2,5,8,1,2,3,4,5,5.已知a,b,c成等差数列,求证:a+b,a+c,b+c成等差数列. 证明:因为a,b,c成等差数列, 所以b-a=c-b,即2b=a+c. 又因为2(a+c)=(a+c)+(a+c)=a+c+2b=(a+b)+(b+c), 所以a+b,a+c,b+c也成等差数列.,1,2,3,4,5,6.已知数列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3). (1)判断数列an是否为等差数列,说明理由; (2)求an的通项公式. 解:(1)当n3时,an=an-1+2,即an-an-1=2, 而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n3), 故an不是等差数列. (2)当n2时,令a2=b1=1,a3=b2=3,a4=b3=5,则bn是等差数列, an=bn-1=1+2(n-1)-1=2n-3(n2).,
