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1、第二节 二重积分的计算法(1),一、利用直角坐标计算二重积分,一、利用直角坐标计算二重积分,二重积分的几何意义:,该曲面向xoy面的,等于以曲面,投影柱面作为侧面的,D作为底，,作为顶、,曲顶柱体的体积.,利用几何意义计算二重积分,即求曲顶柱体的体积.,积分区域的类型,1. X-型区域,特点：穿过D内部且平行于y轴的直线、,与D的边界相交不多于两点.,2.Y-型区域,特点：穿过D内部且平行于x轴的直线、,与D的边界相交不多于两点.,利用平行截面面积已知, 求立体体积的方法:,利用已知平行截面面积 求立体体积的方法:,若D为(Y型区域):,若D(X型区域):,求二重积分的方法： 将二重积分化为两
2、个定积分（二次积分）,若D不是X型(或Y型)区域,则将D分为几个,积分之和就是所给二重积分的值.,区域，使它们为X型(或Y型),几个区域上的,由区域可加性，得,例1 计算 其中D是由直线 y=1,解法1 把D看成X型域,则,x=2 及 y=x 所围区域.,解法2 把D看成Y型域，则,例2 计算 ，其中D是由抛物线,解,把D看作Y型域,所围成的区域.,及直线,先 x 后 y,下边界的表达式不同，所以要用直线 x=1,若把D看作X型域, 由于在0,1和1,4上,将D分成两个区域,它们分别用以下不等式表示：,计算比较麻烦!,例3 求,解,D既可看作X型也可Y 型,若X型,若Y型,则计算积分较繁.,由
3、以上例题可知，,积分时，为了计算简便，需要选择恰当的,二次积分的次序.,既要考虑积分区域D的形状，又要,考虑被积函数的特性.,在化二重积分为二次,例4,分析： 若先 y后x积分，则,无法积分,例5,改变下列积分次序,解,积分区域为,即D由四条直线,所围成的区域.,(从给出的积分限知),若改为先对x后对y积分,解,积分区域为,若改为先对 x 后对 y 积分,例6,求两个底面半径相同的直交圆柱所围,解,立体的体积.,设圆柱底面半径为,两个圆柱面方程,分别为,只需求出,利用对称性,乘以8即可.,第一卦限部分的体积 ,立体的体积:,曲顶,所求立体的体积为,证 由等式左边，得,改变积分顺序，得,所以，,小结,一、利用直角坐标计算,若D（X型）：,计算二重积分-化为二次积分,若D为（Y型）：,对于一般区域可利用,区域可加性，将重积分,化为若干个重积分之和.,要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.,二、改变二次积分的次序,作 业,p.95 习题92,1. (2); (3); 2.(1); (3); 3. 4. 5. 6,7. 8.,
