《自考-概率论与数理统计课件(经管类)04183》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自考-概率论与数理统计课件(经管类)04183（391页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率论与数理统计,教材：概率论与数理统计 （经管类） 课程代码：4183 柳金甫 王义东 主编 武汉大学出版社,本课程的重点章是第1、2、3、4、7、8章.,（1）试题的难度可分为：易，中等偏易，中等偏难，难。,它们所占分数依次大致为：20分，40分，30分，10分。,（2）试题的题型有：选择题(10*2=20分)、填空题 (15*2=30分)、计算题 (2*8=16分)、综合题(2*12=24分)、应用题(1*10=10分)。,（3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大 致是75分和25分.,概率论是研究什么的？,概率论从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。,序 言,数理统计从应
2、用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。,目 录,第一章 随机事件与概率(重点) 第二章 随机变量及其概率分布(重点) 第三章 多维随机变量及其概率分布(重点) 第四章 随机变量的数字特征(重点) 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 统计量及其抽样分布 第七章 参数估计(重点) 第八章 假设检验(重点) 第九章 回归分析,第一章 随机事件与概率,1.1 随机事件 1.2 概率 1.3 条件概率 1.4 事件的独立性,1.1.1 随机现象现象按照必然性分为两类：一类是确定性现象；一类是随机现象。在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类
3、现象成为随机现象。,1.1 随机事件, 1.1.2 随机试验和样本空间,试验的例子,上述试验的特点： 1.试验的可重复性可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 3.全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知的。在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验， 简称试验。随机试验常用E表示。,1、样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间,记为.,样本空间,2、样本点:试验的每一个可能出现的结果成为一个样本点,用字母表示.,下面分别写出上述各试验 所对应的样本空间,1.1.3 随机事件,1.定义
4、样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”.记作A、B、C等。,例在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。 A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3，5.它是样本 空间的一个子集。,事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。,基本事件：样本空间仅包含一个样本点的单点子集。,例，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件。,两个特殊的事件,必然事件：；,不可能事件：.,既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。,1.包含关系与相等：“ 事件 A发生必有事件
5、B发生” ，记为AB。AB AB且BA.,1.1.4、事件之间的关系,2.和事件： “事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB或A+B。,推广：n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作,显然： 1.AAB，BAB； 2.若AB，则AB=B。,3.积事件 :事件A与事件B同时发生，记作 AB 或AB。,推广：n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,显然： 1.ABA，ABB； 2.若AB，则AB=A。,4.差事件 ：AB称为A与B的差事件,表示事件 A发生而事件B不发生,显然： 1.A-BA； 2.若AB，则A-B=。,5.互不相容事件（也称互斥的事件） 即事件A与 事
6、件B不可能同时发生。AB 。,6.对立事件 AB , 且AB ,思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互 为对立事件的区别.,显然有：,事件的运算律,1、交换律：ABBA，ABBA。,2、结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)CA(BC)。,3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)。,4、对偶(De Morgan)律：,例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件： （1）仅A发生； （2）A，B，C都发生； （3）A，B，C都不发生； （4）A，B，C不全发生； （5）A，B，C恰有一个发生。,解,例1-5 某射手向一目标射击3次,
7、Ai表示“第i次射击命中目标”, i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.,解,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分 别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下 列事件：,本节课主要讲授：1.随机现象；2.随机试验和样本空间；3.随机事件的概念；4.随机事件的关系和运算（重点）。,小 结,1.2 概 率,1.2.1 频率与概率,频率的性质：,频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：,2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.,1.2.2 古典概型,理论上,具有下面
8、两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型：,1.有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;,设事件A中所含样本点个数为r ,样本空间中样本点 总数为n,则有,古典概型中的概率:,例1-7 掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。,事件“出现奇数点”用A表示,则A=1,3,5,所含样本 点数r=3,从而,解： 显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数n=6,解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间 =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,样本点总数n=8.,A=TTH，THT，HTT，B=HHH， C=HHH, THH
9、,HTH, HHT, TTH,THT, HTT,所以A,B,C中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例1-8 抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现面”, B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试求 P(A),P(B),P(C).,则P(A)=rAn= 38, P(B)=rBn=18, P(C)=rCn= 78.,例1-9 从0,1,2,9等10个数字中任意选出3个不同数字,试 求3个数字中不含0和5的概率.,解 设A表示“3个数字中不含0和5”.从0,1,2,9中任意选3个不同的数字,共有 种选法, 即基本事件总数n= .3个数中不含0和5,是从1,2,3,4,6
10、,7,8,9共8个数中取得,选法有 ,即A包含的基本事件数 ,则,例1-10 从1,2,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而 后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率.,解 基本事件总数n= ,因为第一次取数有9种可能取法,这时可重复排列问题.设A表示“取出的两个数字不同”. A包含的基本事件数9*8因为第一次取数有9种可能取法,为保证两个数不同,第二次取数应从另外的8个数中选取,有8种可能取法,r=9*8,故 P(A)=rn= 9*8 =89,(2)采取放回抽样：第一次抽取共有100种取法，取后放回，第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数n=1002.在这种 情况下，A中包含的基本事
11、件数r仍为97*3，故,例1-12 一批产品共有100件，其中3件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况： （1）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件； （2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件. 试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品的概率”。,解 (1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接 连两次抽取共有 种取法，即基本事件总数 .第一次 取到正品共有97种取法，第二次取到次品共有3种取法，则A中包含的基本事件数是r=97*3，故,计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的例子：由古典概
12、型中事件概率的计算公式易知概率具有下列 性质：,(3)当A与B互不相容时，有P(AUB)=P(A)+P(B). 这个性质可以推广：当A1，A2，Am互不相容时，有其中m是正整数. 当A1，A2，Am互不相容时，有,1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A)满足条件： (1) P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,1.2.3 概率的定义与性质,概率的性质
13、,性质 1-1,性质 1-2 对于任意事件A,B有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).,特别地,当A与B互不相容时, P(AUB)=P(A)+P(B).,性质1-2可推广：对于任意事件A,B,C有P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). 当A1,A2,An互不相容时：P(A1UA2UUAn)=P(A1)+P(A2)+P(An).,性质1-3 P(B-A)=P(B)-P(AB).,特别地,当A B时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A) P(B).,性质 1-4 P(A)1 P(A).,例1-13 已知12种产品中有2
14、件次品,从中任意抽取4件产品,求至少取得1件次品(记为A)的概率.,例1-14 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AUB)=0.8,P(AB)=0.3, 求P(B).,解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.,解 由性质1-5可知，,小 结,本节课的重点：（1）古典概型事件概率的计算；（2）概率的性质及其应用.,1.3.1 条件概率与乘法公式,例1-17 某工厂有职工400名,其中男女职工各占一半,男女职 工中优秀的分别为20人与40人.从中任选一名职工,试问：（1）该职工技术优秀的概率
15、是多少？（2）已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？,1.3 条件概率,1 定义 ：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A 条件下B的条件概率,记作P(B|A).,定义1-2 设A,B是两个事件,且P(B)0,称,为在事件B发生条件下事件A发生的概率. 显然，P(A)0时，,计算条件概率有两个基本的方法：一、是用定义计算；二、是在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算.,例1-18 在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从 中任取一件为合格品,求它是一等品的概率.,解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”, 显然B A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 则所求概率为,解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取 球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A).,由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中 有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得,例1-20 盒中有5个黑球3个白球,连续不放回的从中取两 次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取 出的是黑球的概率.,
