曲线和曲面ppt培训课件

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1、2018/9/17,1,第四章 曲线和曲面 参考书：1.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条（施法中） 2.计算机辅助几何设计（王国瑾 汪国昭 郑建民 3.自由曲线曲面造型技术（朱心雄等）,第一节 曲线和曲面表示的基础知识 第二节 Hermite多项式 第三节 Coons曲面 第四节 Bezier曲线和曲面 第五节 B样条曲线和曲面,2018/9/17,2,曲线与曲面,曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。 1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，并用三次参数曲线构造组合曲线，用四个角点的位置矢量及其两个方

2、向的切矢量定义三次曲面。 1964年美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一块曲面。 1964年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 1971年法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。 1971年，法国雪铁龙（Citroen） 汽车公司的德卡斯特里奥（de Casterljau）也独立地研究出与Bezier类似的方法。,2018/9/17,3,曲线与曲面,1972 年，德布尔（de Boor）也给出了B样条的标准计算方法。 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gordon

3、）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线、曲面。 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）在其博士论文中提出了有理B样条方法。 20世纪80年代后期，美国的皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条（NURBS）方法,2018/9/17,4,曲线与曲面,曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。 1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程； 1962年法国雷诺汽车公司的Bzier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，

4、此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布； 1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面； 1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法； 1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的 Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS)； 1991年国际标准组织(IS

5、O)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。,2018/9/17,5,2018/9/17,6,第一节 曲线和曲面表示的基础知识,1.显式、隐式和参数表示显式： y=f(x)不能表示封闭曲线或多值曲线（圆）隐式：f(x,y)=0,f(x,y,z)=0球面,2018/9/17,7,显式或隐式表示的缺点 （1）与坐标轴相关的，不便于坐标变换； （2）无法解决斜率为无穷大的情况； （3）对于空间复杂曲线曲面很难表示 （4）不便于计算和编程,2018/9/17,8, 参数表示（解决上述问题） 在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个

6、参数t的一个函数式，则曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是： 空间曲线： 把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：,2018/9/17,9,关于参数t的切矢量或导函数是：曲面写为参数方程形式为:曲线或曲面的某一部分，可以简单地用au,wb界定它的范围,2018/9/17,10,直线段 端点坐标分别是 P1x1,y1,P2x2,y2， 直线段的参数表达式是： P(t)= P1+( P2- P1)t = (1-t)P1+ tP2 0t1； 参数表示相应的x,y坐标分量是： x(t)= x1+(x2-x1) t y(t)= y1+(y2-y1) t 0t1,2018/9/17,11,空间直线段

7、P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2P(t)代表曲线上的一点 P(t)= P1+( P2- P1) t = (1-t)P1+ tP2,2018/9/17,12,参数方程具有如下优点：有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 便于坐标变换 便于处理斜率为无限大的问题，不会因此中断计算代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于向高维空间扩展。t0,1, 直接定义了边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。,2018/9/17,13,基本概念 插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（interpolation）。,2

8、018/9/17,14,给定函数f(x)在区间a,b中互异的n个点的值f(xi), i=1,2,n,基于这些数据寻找某一个函数 ，要求 ， 为f(x)的插值函数，xi为插值节点 (1)线性插值 函数f(x)在两个不同点x1,x2的值，y1=f(x1),y2=f(x2) 用线性函数 近似代替y=f(x),选择a,b使 则称 为f(x)的线性插值函数 (2)抛物线插值(二次插值） 设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3, 要求构造函数 在节点xi处有,2018/9/17,15,逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（appr

9、oximation）。,2018/9/17,16,常用方法 最小二乘法 假设已知一组型值点(xi,yi), i=1,2,n,要求构造一个m(mn-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点。 偏差的平方和最小：加权平方和最小：令F(x)为一个m次多项式 最小二乘法就是定出ai使偏差平方和最小,2018/9/17,17,插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（interpolation）。 逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。,2018/9/17,18,参数连续性一函数在某一点x0处具有相等的直

10、到k阶的左右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。参数曲线的可微性称为参数曲线的连续性。 几何连续性两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处参数导数成比例而不是相等，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk 。零阶几何连续G0与零阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。,2018/9/17,19,曲线段间C1、C2和G1、G2连续性定义 （1）Q1(1)=Q2(0

11、),则Q1(t)和Q2(t)在P处有C0和G0连续性 （2）Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C1连续性 （3）Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G1连续性 （4）Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0和C1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)大小方向均相同，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C2连续性 （5）Q1(1)和Q2(0)在P处已有G0和G1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)方向相同但大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G2连续性 （6）推广

12、之，Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0、C1、Cn连续，若Q(n)1(1)和Q(n)2(0)在P处大小和方向均相同，则说Q1(t)和Q2(t)在P处具有Cn连续性,2018/9/17,20,C0连续的线性插值,2018/9/17,21,C2连续的样条插值,2018/9/17,22,光顺 光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是： （1）具有二阶几何连续（G2）； （2）不存在多余拐点和奇异点； （3）曲率变化较小。,2018/9/17,23,第二节 Hermite多项式,已知函数f(t)在k+1个点ti处的函数值和导数值f (j)(ti

13、)，i=0,1,k，j=0,1,mi-1，要求确定一个N = m0 + m1 + + mk - 1次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：则P(t)被称为函数f(t)的Hermite插值多项式。,2018/9/17,24,1.Lagrange插值法: 已知f(t)在k+1个点的函数值f ( ti ) ,求一个k次多项式使p(ti)=f (ti),2018/9/17,25,例： k=2,m0=m1=m2=1 已知函数f(t)在三个点t0，t1，t2，的函数值f(t0),f(t1),f(t2), 求二次多项式P(t),2018/9/17,26,混合函数如下：,2018/9/17,27,设表示一条曲

14、线的某个函数f(t)在四点t0，t1，t2，t3的函数值f(t0), f(t1),f(t2), f(t3)，根据Lagrange插值法，则三次多项式P(t)可表示为： 选择四个不同的点作为构造曲线的条件,2018/9/17,28,混合函数如下：,2018/9/17,29,2. 已知表示一条曲线的某个函数f(t)在两点t0，t1的函数值f(t0), f(t1)和一阶导数值f(t0), f(t1)，求三次多项式P(t):,2018/9/17,30,2018/9/17,31,2018/9/17,32,2018/9/17,33,把a0，a1，a2和a3代入(4-1)式则有：,2018/9/17,34,

15、经整理，所求多项式P 0(t)可以写出如下：式中选取两个端点及其及其切向量作为曲线构造条件。,2018/9/17,35,混合函数如下：,2018/9/17,36,经验证可知：,2018/9/17,37,3. 为了使P0(t)的定义区间t0tt1变为区间0u1，可以做如下变换解出 ，代入混合函数式中，得：,2018/9/17,38,2018/9/17,39,2018/9/17,40,将关于u的混合函数代入，所求的三次多项式成为：,2018/9/17,41,令,2018/9/17,42,得,2018/9/17,43,2018/9/17,44,q00(u),q01(u),q10(u),q11(u),2018/9/17,45,4.曲线拼接对一般的Hermite插值问题，一般来说得到的插值多项式次数较高，应用起来不方便。通常的处理办法是将前面给出的参数的三次多项式逐段光滑地连接，如此来确定一般情况下的插值多项式。将前面t0和t1视为ti和ti+1，设给定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，则在区间ti，ti+1的Hermite三次插值多项式Pi(t)是：,2018/9/17,46,2018/9/17,47,2018/9/17,48,为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间ti，ti+1中引入如下一些基本函数：,