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1、第1讲：课程介绍与轨道动力学基础 2018年9月17日星期一中国空间技术研究院神舟学院,2018/9/17,- 2,Outline,教学目的和基本要求 温故知新的基本条件 求知共同体通讯录 课程安排与成绩评估 引言 矩阵知识复习 矢量基于参考坐标系的矩阵运算 轨道动力学基础：二体问题,2018/9/17,- 3,教学目的和基本要求,1了解航天器动力学有关的发展背景和最新进展； 2掌握航天器动力学的基本概念和基本原理； 3. 挖掘自身潜力：尝试力学思维方法感受数学推导过程养成航天应用兴趣,2018/9/17,- 4,温故知新的基本条件,1力学基础：理论力学 2数学基础： 矩阵 矢量 微积分主要参
2、考书：耿长福“航天器动力学”,2018/9/17,- 5,求知共同体通讯录,2018/9/17,- 6,求知共同体通讯录,2018/9/17,- 7,求知共同体通讯录,2018/9/17,- 8,课程安排与成绩评估,2018/9/17,- 9,课程安排与成绩评估,提倡手写课堂笔记；课后可以记录课外调研和学习体会；3次以上随机检测。作业用手写在A4纸上，每页编号签名；每次上课前由课代表提交；每次上课最后视情况挑选部分同学讲解上次作业。,2018/9/17,- 10,引言,航天器又称空间飞行器，包括卫星、空间站、空间探测器等。 传统航天器只考虑在地球大气层外运行。现在也考虑在大气层运行，特别是形成
3、近空间飞行器研究热点，包括高超声速飞行器、高空飞艇等。,航天器动力学主要是轨道动力学与姿态动力学。,航天器是现代高科技的产物，在通讯、气象观测、资源勘探、军事侦察、导航定位等多方面都有极其重要的应用。,2018/9/17,- 11,引言,轨道动力学研究航天器的轨道特点及如何控制，实际上是研究质心的运动。,姿态动力学研究航天器的稳定性及控制，实际上是研究刚体相对质心的运动。,轨道与姿态对航天器都有重要影响。以卫星为例，通讯卫星一般采用地球同步轨道，相对地球静止；而军事侦察卫星的轨道要经过热点上空，有时还要改变轨道侦察新的热点。,轨道确定后，还要求卫星的姿态正确，使卫星上的天线或相机能对准目标。,
4、2018/9/17,- 12,引言,航天器轨道动力学从天体动力学发展而来，以牛顿定理及万有引力定律为基础。研究轨道的特点及轨道转移及控制。,航天器姿态动力学以经典刚体动力学为基础。研究航天器的姿态描述、动力学方程、稳定性及控制。,而现代航天器日益复杂，还需要考虑多刚体、多柔体系统、充液、晃动等问题。但本课程主要涉及航天器的刚体模型。,2018/9/17,- 13,引言, 质点位置轨道(航迹)动力学,2018/9/17,- 14,引言, 绕质点转动姿态动力学,2018/9/17,- 15,矩阵知识复习,矩阵及其转置,对于mxn维同阶矩阵，有,2018/9/17,- 16,矩阵知识复习,只有一列的
5、矩阵称为列阵,于是mxn维矩阵可以用列阵为元素的分块矩阵表示,2018/9/17,- 17,矩阵知识复习,矩阵的配维相乘,可得,2018/9/17,- 18,矩阵知识复习,矩阵配维相乘不满足交换律，但遵循分配律与结合律,矩阵的线性相关性与秩n个列阵线性相关是指：存在相应的n个不同时为0的加权常数使得加权和为零列阵，即,矩阵的列(行)秩是指：最大的线性无关的列(行)阵的个数；任何矩阵的列秩与行秩相等，故列秩/行秩就是矩阵的秩。,2018/9/17,- 19,矩阵知识复习,对于方阵(m=n)，对角阵、n阶单位阵与迹,2018/9/17,- 20,矩阵知识复习,行(列)阵线性无关的方阵称为满秩方阵，
6、又称非奇异阵； 非奇异阵存在一个逆矩阵，其同原矩阵相乘等于单位阵，即,并有,满足如下等式的非奇异阵称为正交阵,2018/9/17,- 21,矩阵知识复习,矩阵的导数,对时间的导数定义,性质,2018/9/17,- 22,矩阵知识复习,对变量的导数定义： 某一标量函数，其自变量为n阶变量列阵,定义标量函数对变量列阵的偏导数为n阶列阵,假如函数是由m个标量组成的列阵,则定义偏导数为mxn阶矩阵,2018/9/17,- 23,在动力学中，很多物理量既有大小、又有方向，如力/力矩、位移、速度、角速度。通常用矢量表示。 矢量要在感兴趣的参考坐标系来表示。参考系通常由3个互相垂直的单位矢量按右手顺序组成。
7、,矢量基于参考坐标系的矩阵运算,2018/9/17,- 24,参考系由一组单位基矢量组成,根据内积，可定义,根据叉积，可定义,矢量基于参考坐标系的矩阵运算,2018/9/17,- 25,矢量基于参考坐标系的矩阵运算,矢量及其分量列阵,可由参考系矢量列阵和分量列阵表示,矢量点积(内积)的矩阵运算,2018/9/17,- 26,矢量基于参考坐标系的矩阵运算,矢量叉积(外积)的矩阵运算,2018/9/17,- 27,矢量基于参考坐标系的矩阵运算,对叉积，还有,对混合积，有,对三重叉积，有,2018/9/17,- 28,轨道动力学基础：二体问题,天文学的发展历史 开普勒轨道三大定律 轨道的数学描述 读
8、书补遗：二体问题的一般解 读书补遗：有心力运动 读书补遗：开普勒时间方程 航天器的轨道要素 各种参数间的关系 作业,2018/9/17,哥白尼（N.Copernicus,14731543，波兰）,第谷（Tycho Brahe,15461601，丹麦）,开普勒（J.Kepler,15711630，德国）,牛顿（I.Newton,1642-1727，英国）,“日心说”,行星运动三定律,万有引力定律,大量精确资料,托勒密（C.Ptolemaeus,90168，埃及）,“地心说”,1. 天文学的发展历史,2018/9/17,假设航天器在地球的中心引力场中运动。忽略太阳、月球的引力，不考虑其它干扰因素。
9、,与行星绕太阳运动类似，航天器绕地球的运动也满足开普勒三大定律：,在这种假设下，航天器相对地球的运动轨道称为二体轨道。二体轨道是航天器运动的最基本轨道。,椭圆定律：航天器绕地球运动的轨道为一椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上。,2. 开普勒轨道三大定律,2018/9/17,面积定律：航天器与地球中心的连线在相同的时间内扫过的面积相等。,谐和定律：航天器轨道半长轴的三次方同轨道周期的平方成正比。,因此，航天器的这种运动也称为开普勒运动。 航天器运动的二体轨道也称为开普勒轨道。,2. 开普勒轨道三大定律,2018/9/17,设Oxyz为参考坐标系，O为地球中心，xyz指向三颗恒星。设me为地球质量，m
10、为航天器质量，r为航天器的矢径。,由万有引力定律，有,G称为万有引力常数。,其中,3. 轨道的数学描述,2018/9/17,由牛顿定律有,称为地心引力常数。,这就是航天器绕地球运动的运动方程。它表明航天器的加速度方向指向地心，与距离平方成反比。,设,得到：,3. 轨道的数学描述,2018/9/17,对于耿P263图12-1，质心定义为,进而,又知,4. 读书补遗：二体问题的一般解,代入(12-1),(12-1)变为,2018/9/17,同样,(12-2)、(12-3)分别给出了两个质点与质心C之间的距离。,若作用于m1、m2的外力分别为F1、F2,4. 读书补遗：二体问题的一般解,2018/9
11、/17,若外力只有万有引力，则F1+F2=0,即,用万有引力代替F2,于是得到二体系统的基本运动微分方程,4. 读书补遗：二体问题的一般解,2018/9/17,将式(12-5)两边叉乘,于是,从中得到积分常矢量：单位质量角动量,角动量必定垂直于由矢径和速度确定的轨道平面，并且在惯性空间是固定的！,4. 读书补遗：二体问题的一般解,2018/9/17,将式(12-5)两边与角动量叉乘,上式中的常矢量称为偏心率矢量。,4. 读书补遗：二体问题的一般解,2018/9/17,由于单位质量角动量是常矢量，其导数为0，在上式左边可以加上 , 即,于是可直接积分得到,4. 读书补遗：二体问题的一般解,将上式
12、与角动量矢量点乘，可见其结果为零矢量： 这说明偏心率矢量在同角动量矢量垂直的轨道面内！,2018/9/17,补充：能量积分与拉普拉斯积分,物理意义：航天器点机械能守恒。,方程两边点乘, 能量积分,利用,积分后为,动能,势能, 拉普拉斯积分,2018/9/17,为了求解式(12-5)，将(12-9)两边与矢径点乘,对于右侧，先定义于是,4. 读书补遗：二体问题的一般解,式(12-10)是圆锥曲线一般方程的极坐标形式，坐标原点取在焦点上。这就证明了开普勒第一定律！,2018/9/17,4. 读书补遗：二体问题的一般解,关于二体系统的动能，详见耿P265有关内容。,2018/9/17,详见耿P266
13、，直到式(12-13)。因为有心引力为保守力，所以能量守恒，E是常数。但动能、势能是变化的。,由于角动量是守恒的，因此m2的轨迹在平面内运动。为了推导出其在平面运动的轨迹方程，下面在右图(图12-2)的极坐标平面内进行分析。,5. 读书补遗：有心力运动,2018/9/17,单位质量物体的动能为,单位质量的动能及总能量变为,5. 读书补遗：有心力运动, 动量矩积分：,于是,引进新变量：瞬时曲率,2018/9/17,可代换,式(12-15)变为,5. 读书补遗：有心力运动,一般上式很难积分。 这里考虑平方反比形式势能：,2018/9/17,从式(12-16)可得,5. 读书补遗：有心力运动,直接积
14、分可得,2018/9/17,定义参数(半通径),5. 读书补遗：有心力运动,令 式(12-17)变为,令 ， 式(12-19)变为,2018/9/17,整理后得,5. 读书补遗：有心力运动,这又表示了一条圆锥曲线，是基于能量推导的。,2018/9/17,6. 读书补遗：开普勒时间方程,再次详细推导动量矩积分，由下图(图12-4)可知,注意到,2018/9/17,6. 读书补遗：开普勒时间方程,为了考察从近拱点过来的时间tp，设 ，于是(*5)式的圆锥曲线取“+”号并平方，并利用式(12-18)、(12-21)，可消去r,h,2018/9/17,6. 读书补遗：开普勒时间方程,根据几何关系容易看
15、出 其中a为半长轴。 因为,所以,上式两边同乘以 ，得,对此式的左1、右2两项移项，得,两边同除以 ，得,2018/9/17,6. 读书补遗：开普勒时间方程,这样才得到,对上式求导,由式(12-20)得能量联系(12-24)得,单位质量的能量包括动能和势能：,2018/9/17,6. 读书补遗：开普勒时间方程,综合(A8)、(A9)，才得到,上式(12-27)两边同乘以 得到,联系式(12-24)才得,即,2018/9/17,6. 读书补遗：开普勒时间方程,联系式(12-25)、 (12-26) ，式(A10)可进一步变为,这样才得到,用式(25+)代入上式消去r,对上式(A11)积分得,20
16、18/9/17,6. 读书补遗：开普勒时间方程,偏心率小于1时，轨道是封闭的，具有周期性。相应的周期可以用矢径的面积扫描速度确定。参见下图，扫描面积的一个微元为,除以dt得到面积速度,为常数，这就证明了开普勒第二定律！,2018/9/17,6. 读书补遗：开普勒时间方程,将上式(12-33)写成,，对整个轨道进行积分，得周期为,根据几何关系有：,。对椭圆有,为了消去h，用式(12-10)计算近拱点r,于是进一步利用式(12-34)、(12-31)可以进行如下推导,这就证明了开普勒第三定律！并给出了二体问题的全部轨道公式。,2018/9/17,前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况，导出了一些积分常数（ ），根据轨道运动方程，其中只有六个参数是独立的。,原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的初始位置和速度：,
