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1、第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数一、正交函数集二、信号分解为正交函数 4.2 周期信号的傅里叶级数一、周期信号的分解二、奇、偶函数的傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式 4.3 周期信号的频谱一、周期信号的频谱二、周期矩形脉冲的频谱三、周期信号的功率 4.4 非周期信号的频谱一、傅里叶变换二、奇异函数的傅里叶变换,4.5 傅里叶变换的性质一、线性二、奇偶性三、对称性四、尺度变换五、时移特性六、频移特性七、卷积定理八、时域微分和积分九、频域微分和积分十、相关定理 4.6 能量谱和功率谱一、能量谱二、功率谱,4.7 周期信号的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换二、一
2、般周期函数的傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换 4.8 LTI系统的频域分析一、频率响应二、无失真传输三、理想低通滤波器的响应 4.9 取样定理一、信号的取样二、时域取样定理三、频域取样定理,4.10 序列的傅里叶分析一、周期序列的离散傅里叶级数(DFS)二、非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT) 4.11 离散傅里叶变换及其性质一、离散傅里叶变换(DFT)二、离散傅里叶变换的性质,法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示
3、，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822年在代表作热的分析理论中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅里叶分析等理论均由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。,傅里叶简介,时域分析：以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yzs(t) = f(t)*h(t) 。频域分析：以正弦信号和虚指数信号e jt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频
4、率的正弦信号或虚指数信号之和。用于系统分析的独立变量是频率。,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即,由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集。,如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。,例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：
5、在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,二、信号正交与正交函数集,1. 定义：,在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足 ：,则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。,2. 正交函数集：,若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 ：,则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。,4. 完备正交函数集：,正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在任何函数 (t)(0）满足：,则称此函数集为完备正交函数集。,( i =1，2，n),
6、3.正交复函数集：,若n个复函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足 ：,则称此复函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。,三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 虚指数函数集ejnt，n=0，1，2， 是在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)C11+ C22+ Cnn,问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间
7、(t1，t2)内为最小。,通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为：,为使上式最小（系数Cj变化时），有,即：,系数：,当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。 此时有 ：,上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式：在区间(t1,t2)内 f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和,4.2 傅里叶级数,一、周期信号的分解,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可展开为傅里叶级数。,系数an , bn称为傅里叶系数。,可见， an 是n的偶函数， bn是n
8、的奇函数。,式中，A0 = a0,上式表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中， A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。,可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,例1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,解：,考虑到=2/T，可得：,信号的傅里叶级数展开式为：,基波 基波+三次谐波,基波+三次谐波+五次谐波 基波+三次谐波+五次谐波+七次
9、谐波,实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t)由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以,二、波形的对称性与谐波特性,1 .f(t)为偶函数对称纵坐标,bn =0，展开为余弦级数。,2 .f(t)为奇函数对称于原点,an =0，展开为正弦级数。,3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2),此时，其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：a0=a2=b2=b4=0,4 .f(t)为偶谐函数f(t) = f(tT/2),此时，其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，
10、而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0,三、傅里叶级数的指数形式,cosx=(ejx + ejx)/2,上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n， 则上式写为,令A0=A0 e j0 e j0t ，0=0，所以：,称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 Fn 是频率为n的分量的系数，F0 = A0/2为直流分量。,例2：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。,解：,指数型傅里叶级数为：,n = 0, 1, 2，,n = 0, 1, 2，,n = 1, 2，3,4.3 周期信号的频谱,一
11、、信号频谱的概念,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。,例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。,解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即,显然1是该信号的直流分量。,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6
12、,所以f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=,是f(t)的/4/12 =3次谐波分量；,是f(t)的/3/12 =4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：,二、周期信号频谱的特点,举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）, n = 0 ,1，2，,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。,零点为,特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,谱线特点： 脉宽不变,
13、周期T增大，幅度变小，谱线间隔变小，变密。,周期信号的频谱特性：,收敛性：n增大，|Fn|减小； (b) 谐波性/离散性：谱线只出现在n 处； (c) 唯一性：傅里叶级数一定。,引入负频率：,对于双边频谱，负频率n 只有数学意义，没有物理意义；f（t）是实函数，分解成虚指数时，必须有共轭对，才能保证f（t）是实函数性质不变。,三、周期信号的功率Parseval等式,含义：直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号f
14、(t)可看成是周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,(单位频率上的频谱）,称F(j)为频谱密度函数。,考虑到：T，无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而,同时， ,于是，,傅里叶正变换,傅里叶逆变换,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,根据傅里叶级数,也可简记为,F(j) = F f(t)f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F
15、(j),F(j)一般是复函数，写为F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),说明：(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数f(t) = et(t)， 0,2. 双边指数函数f(t) = et , 0,3. 门函数(矩形脉冲),4. 冲激函数(t)、(t),5. 常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F (j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,构造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),另一种求法： (t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅里叶变换定义式，得,
