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1、2.1.2随机过程的统计特性随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的方法， 来描述它的统计特性。 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值(t1)是一个一维随机变量。随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。 1.分布函数的定义我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率P(t1)x1，简记为F1(x1, t1)：即 F1(x1,t1)=P(t1)x1 (2.1 - 1) 式(2.1 - 1)称为随机过程(t)的一维分布函数。,则称f1(x1, t1)为(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤
2、立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。 任给两个时刻t1, t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1), (t2)，称 F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 (2.1 - 3)为随机过程(t)的二维分布函数。,如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有,1.概率密度函数的定义,则称f2(x1,x2; t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。 同理，任给t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)
3、x2, (tn)xn,如果存在：,则称fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)为(t)的n维概率密度函数。,n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。 ,如果存在,2.1.3随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 1. 数学期望设随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则(t1)的数学期望为 ,注
4、意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是,a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。 ,2. 方差,D(t)常记为2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系， 还需利用二维概率密度引入新的数字特征。 ,B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)= f2(x1,x2; t1,
5、t2)dx1dx2, 式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。 相关函数定义为 R(t1, t2)=E(t1) (t2),3. 相关函数衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。协方差函数定义为,二者关系为 B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) (2.1 - 10) 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1,
6、t2)可表示为R(t1, t1+)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔,即相关函数是t1和的函数。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为,B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) (2.1 - 11),而互相关函数定义为：,R(t1, t2)=E(t1)(t2) (2.1 - 12),（1）,解：（1）:,2.2平稳随机过程,2.2.1定义,所谓平稳随机过
7、程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。,设随机过程(t)，tT,若对于任意n和任意选定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及h为任意值，且x1, x2, , xnR，有:,fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+h, t2+h, , tn+h) (2.2 - 1),则称(t)是平稳随机过程。,该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的.,用这样的方法定义的随机过程称为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。,于是， 平稳随机过程(t)的均值为:,具体到它的一维分布, 则与时间t无关
8、， 而二维分布只与时间间隔有关，即有,f1(x1, t1)=f1(x1),和,f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; ),a为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。,同样，可以证明平稳随机过程的方差2(t)=2=常数，表示随机过程的起伏偏离数学期望的程度也是常数。,R(t1, t2)=E(t1)(t1+)=,注意到式（2.2 - 1）定义的平稳随机过程对于一切n都成立， 这在实际应用上很复杂。但仅仅由一个随机过程的均值是常数， 自相关函数是的函数还不能充分说明它符合平稳条件。,而平稳随机过程(t)的自相关函数为:,因此它仅是时间间隔=t2-t1的函数，而
9、不再是t1和t2的二维函数。,以上表明，平稳随机过程(t)具有“平稳”的数字特征：,(1)它的均值与时间无关;,(2)它的自相关函数只与时间间隔有关，即:,R(t1, t1+)=R(),为此引入另一种平稳随机过程的定义： ,设有一个二阶矩随机过程(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是的函数， 则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。,相应地，称按式（2.2 - 1）定义的过程为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。,通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程， 简称平稳过程。 ,也就是说,在通信领域中,只要有
10、一个随机过程(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是的函数， 我们就称它为平稳随机过程!,例2：设随机过程 式中，a与 都为常数。 是在 (0,2 )上均匀分布的随机变量。问：X(t)是否为平稳随机过程？ And Why？,解：根据题可以求出随机变量 的概率密度为：,因此可以求出其均值，自相关函数分别为：,答： X(t)是平稳随机过程！,2.2.2各态历经性,平稳随机过程在满足一定条件下有一个非常有用的特性， 称为“各态历经性”或者称为“遍历性”。,这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。,也就是说，假设x(t)是平稳随机过程(
11、t)的任意一个实现(样本函数)，它的时间均值和时间相关函数分别为：,如果平稳随机过程依概率1使下式成立：,“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 ,则称该平稳随机过程具有各态历经性。,注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。 ,例3：判断例2中的随机过程 是否具有遍历性？,解：先求出时间均值和时间自相关函数分别为：,并且从例2中已算出：,此随机过程具有遍历性的特点。,作业:,P36: 2.4、2.6,
