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1、2 直角坐标系下二重积分的计算,二重积分计算的要点是把它化为定积分. 这里有多种方法, 其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分.,一、在矩形区域上二重积分的计算,二、在 x 型或 y 型区域上二重积分的计算,三、在一般区域上二重积分的计算,返回,一、在矩形区域上二重积分的计算,则累次积分,也存在, 且,则累次积分,也存在, 且,时, 则有,解 应用定理21. 8 (或定理21. 9), 有,对于一般区域, 通常可以分解为如下两类区域来进,行计算.,称平面点集,为x型区域(图21-5(a); 称平面点集,为y型区域(图21-5(b).,二、在 x 型或 y 型区域上 二重积分的计算,这些区域的
2、特点是当 D 为 x 型区域时, 垂直于 x 轴,多与 D 的边界交于两点.,即二重积分可化为先对 y、后对 x 的累次积分.,类似可证, 若 D 为 (5) 式所示的 y 型区域, 其中,对 x、后对 y 的累次积分,例2 设 D 是由直线,(图21-6), 试计算:,的值.,解 若用先对 y、后对 x 的积分, 则有,的累次积分来计算:,例3 计算二重积分,其中D为由直线,三角形区域(图21-7).,解 当把 D 看作 x 型区域,时, 相应的,所以,例4 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体,积 V.,解 设圆柱底面半径为a, 两个圆柱方程为,利用对称性, 只要求出在第一卦限(即,)部分(见第十章图10-9)的体积, 然后再乘以8,即得所求的体积.第一卦限部分的立体是一曲顶柱,所以它的体积为,D:,于是,三、在一般区域上二重积分的计算,边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解,成有限个除边界外无公共,内点的 x 型区域或 y 型区,域.如图21-8 所示,D 被分,解成三个区域, 其中 、,上的连续函数,试将二重积分,化为不同顺序的累次积分.,所以有,(见图21-10),例6 计算,其中,解 记 (见图 21-11),则又有,
