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1、运动是起点 变换是工具,就几何综合问题谈点问题,一、谈点看法（一）这个看法源于对平面几何的认识：我们对这个问题的认识经历了三次变化，首次是“平面几何是研究平面图形的形状、大小与位置”；第二次，执行新课标后“几何变换是平面几何的起点”；最后，本质的认识“研究图形经过运动变化后的不变性质”,（二）要确立符合认知规律的分析方法综合问题似乎就应该举例讲就可以了，其实不然，需要我们解决很多的问题后才可能谈这个问题分析什么？怎么分析符合学生的认知规律？还原图形的生成过程，分步画图；确定每步的结论以及相应的可用的方法；判断图形或图形的元素是否需要移动,二、几何综合题问题我们为了讲课的方便，做一个大致的分类：
2、几何综合题两个图形的组合问题（）同类图形；（）不同类图形几何变换问题几何代数综合问题几何提供关系的综合；几何解决图形问题,几何综合问题两个图形的组合问题同类图形的组合问题：对于这个而言，情况是很多的，但是，最本质的问题是两个特殊图形的组合，即两个正多边形的组合问题（大小相同或不同）对于在位置上不相关的两个图形问题，我们认为经过有限次的变换总可以使它们在位置上具有相关性，因此，我们只就位置上相关的问题进行研究,我们先给出一种情况，即约束条件只有一个的问题从约束条件出发，情况有两种，即共顶点；一个图形的顶点在另一个的对角线上；或在一条边上先研究一个图形的顶点在另一个的对角线上的情况在这种情况中实际
3、上也有不同的问题，即只满足一个图形的顶点在另一个的对角线上；另一种为其中一边过一个顶点,我们先研究只满足一个图形的顶点在另一个的对角线上的情况如图，,此时，可形成的问题有：两个图形的叠合部分的面积问题，即可以是四分之一、二分之一、或者四分之三等等此时，只需要抓住面积的表示可以用边关系表达，以及图形相似的条件即可,另一种为一个顶点在对角线上且其中一边过一个顶点,最特殊的情况：共点共边的情况，可以形成什么问题？用一条直线把它的面积分成两等份如果图形发生变化，所不同的是边之间或两边的夹角必须是确定的，即提供可以建立联系的关系,再例如，在平面内放置两个等边三角形ABC与DEF，并且边BC与EF的中点O
4、重合试求：(1)确定AD与CF的夹角；(2)AD与FC的比值,分析：在本题中，两个等边三角形是确定的，同时在位置上具有相对的稳定性此时，从研究的对象看，求两条线段的夹角的大小可以不用移动图形就可以实现，即图形中可能存在着相似的图形，而利用相似的图形关系也是可以求角的，所以需要我们做一个判断，即需要不需要利用全等三角形的知识求解从图形中的条件我们可以确定的是存在两个三角形的相似关系,如图，已知等边三角形ABC，我们发现经过顶点A、B、C总可以做abc如果存在一组平行线mnl ，请你猜想是否可以做一个等边三角形使其三个顶点分别在m、n、l上，如果可以作出，请画出示意图并证明你的猜想,分析：我们知道
5、已知等边三角形时，经过三个顶点是可以做一组平行线的，但是，如果把问题逆过来，解决这个问题就困难的多原因是因为已知一组平行线可以是任意的，它需要有一个切入点由于每条平行线上必须有一个顶点，故我们可以假设图形已经做出，我们选一个顶点做为切入点分析作三角形问题实际上是确定第三点问题，由于其中一个点可以确定，那么利用关系就可确定第二点,作图方法作AMn,作MAN=60,过点N作CNl交于点C,作图方法作CNl,作MCN=60,不同类图形的组合问题例如，请设计一种方法把图中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形, 请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的
6、面积的结论,分析：由于是一个矩形面积化为正方形面积问题，因此我们就称之为不同类型图形的组合问题同时由于面积可以利用代数式表达，故我们还可以认为是代数几何综合题问题因为，矩形的边长确定，因此，我们了利用的饿原始条件只有边对于边而言在解决这个问题中如何利用，就需要根据题意确定正方形的边长了,实际上我们只需要明白正方形的面积等于矩形的两边的积，这样就可以相互表示了,如果我们换个角度看这个问题会发现，其实这个问题就是一个面积切分后图形平移的问题在此就图形平移提几句：图形的平移相对于图形的另两种变换而言，其实是较难的原因在于平移在移动图形时一般讲是需要同时移动两个元素时才考虑的方法，因此，平移是较难认识
7、与使用的，但是就其移动图形时的作用而言却是十分重要的,几何变换问题就知识点说，这是可以独立命题的知识体现的是对平面几何的基本认识与理解，同时又体现了对几何方法的认识与水平由于利用几何变换命题需要有较好的题坯子，因此，命制较好的题就较困难但是，就从对综合性问题的角度讲，利用几何变换设计命题需要学生有较好的解题经历才能不输在起跑线上,例如，在形如ABC的一块场地上有一条小路经过场地，因连续下雨小路有较长的一段被雨水淹没了由于需要测量者块土地的面积，可测得BAC=45,又测得BD=30m,CD=20m,请你帮助求这块土地的面积,因为三角形的不可测量性,因此就需要考虑求解的方法实际上我们讲这个问题就是
8、想说一个问题，即存在45角时可以这样思考问题：由于在角的内部形成了两个角，实际上在提示我们可以考虑是否需要还原角关系，如果还原就可利用轴对称的知识移动图形或元素，形成新的图形关系,利用这个关系还原正方形,再例如，正方形ABCD中,点P是形内一点,若PAB=30,且AB=AP,问能否确定PB与PC的关系,我们给这个题的目的是想让老师们在此基础上做一些变化，形成一系列问题，即这个问题可以在等腰直角三角形中，在直角梯形中还可以放在其他的背景中，也可以形成计算问题；甚至可以放在直角坐标系中求点的坐标等,如何利用角的关系是解决问题的关键30角可以在直角三角形形中形成可利用的关系,除此之外，由于可求ABP
9、=75，而在这个角中含有15以及60角,因此,可以形成等边三角形与正方形的组合问题,已知ABC中，AB=AC，BAC=90，点P是形内一点，且PC=1，PA=2，PB=3，求APC,在这个问题中要求角的度数根据题意需要移动线段的位置，使之形成可以求解角度的图形关系，因此需要利用旋转关系,我们再举一例与之比较，从中发现一些规律已知正方形ABCD内一点，P到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，求此正方形的边长,分析：本题与我们常见的形式不同，一般讲都是在图形中存在一种图形关系求最值问题但是，不论从哪个角度认识这个问题都需要解决因三条线段位置上相关性不大移动图形的问题从条件出发已知中原图形是正方形
10、，在移动中首先考虑借助组合关系解决图形移动的问题但是，若用正方形移动，此时线段只是从形内到了形外，不能形成最小距离问题因此，考虑用不同图形的组合移动图形，使之可以形成三线共线问题,当C、P、E、F四点共线时，取得最小值,如图，四边形ABCD中，AB=AD，点P是形内一点，若DAB=60，且DPC=120，AC=7，求 的最小值,在这个问题中，可以肯定的是所求的元素不在一个图形中，各自分散在四个图形里如何沟通它们之间的关系是解决问题的关键所在但是，实际上本题所给的条件又具有明显的提示性，即给出了两个特殊的角度，因此，如何利用这两个角就成为解题的关键根据题意的提示，我们可以发现可以形成等边三角形，
11、因此可以移动图形,由已知中的边相等以及所夹角为60，其实在暗示我们可以形成等边三角形，又由另一个角为120，根据相邻的角度为60，也可形成等边三角形，因此，可形成旋转形问题,再例如，点D是ABC的边AC上一点，且AB=CD，BAC=60，点E是BD的中点，若AE4，能否求BC的长如果能求，请求出它的长,在这个问题中，所证的结论涉及到的两个元素分别在两个图形中，并且其中一条线段是三角形的中线但是，在命题的条件中，由两条线段相等以及有角为特殊角，因此，可能会形成特殊的图形关系，即由于线段CD在AC上没有什么实际的作用，只有以AB为起点构成与AD相等的线段关系,可能就可形成新的可利用的图形关系,现在
12、很多省市的中考题中出现所谓的：图形运动或点运动的问题如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点（）当点P在AB上运动到什么位置时，ADP的面积是正方形面积的六分之一；（）若点P从点A运动到点B，再继续在上运动到点C，在整个运动过程中，当点 P运动到什么位置时，ADP恰为等腰三角形,再例如，在一个梯形（或其他图形）中，存在两个动点，分别在底边（或长、宽）上移动，且移动的速度有倍分关系，确定所确定的图形之间相似或面积关系；或者形成函数关系等相对于简单图形中利用几何变换的问题的题目而言，关系相对确定，因此，求解这样的问题相对容易至于利用函数图象而形成图形问题而言，这部分题目实际上就是几何问题，不在这里赘述,
