《多维随机变量ppt培训课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多维随机变量ppt培训课件（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章,多维随机变量及其分布,到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.,飞机的重心在空中的位置是由 三个随机变量(三个坐标）来确定 的等等.,但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.,如: 在打靶时, 命中点的位置是由 一对随机变量(两个坐标)来确定的.,因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量.,其处理思路及方法与一维情形相同, 但形式较一维 复杂; 学习时应注意与一维情形的对照.,设 为试验 E 的样本空间, 若对 中的任一 基本事件 e , 都有惟一确定的 n 个实数 X1(e) , Xn(e) 与之对应,则叫 (X1(e) , , Xn(e)
2、为 n 维随机变量,由于从二维推广到多维一般没有实质性的困难, 我们重点讨论二维随机变量 .,定义:,简记为 ( X1 , , Xn ).,二维随机变量一般用 ( X, Y ) 来表示 .,3.1和3.2二维随机变量 3.1.1 二维随机变量的联合分布与边缘分布,一、X与 Y 的联合分布函数及边缘分布函数,二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数为,也叫 X与 Y 的联合分布函数.,几何表示:,F (x, y) 为随机点 (X, Y )落在图中阴影 区域内的概率.,容易看出随机点（X，Y）落在矩形区域的概率为,对二维随机变量F(x ,y ) ,有如下性质:,2) F(x,y)是变量x和y的不
3、减函数;,3) F(x,y)关于x右连续, F(x,y)关于y右连续;,1)对于任意的实数x ,y ,有,4）,在二维随机变量( X , Y ) 中:,X 的分布函数称为( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数,Y 的分布函数称为( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布函数;,由联合分布函数可确定边缘分布函数, 对此有:,进一步可定义 n 维随机变量 (X1 , , Xn ) 的 分布函数:,及关于 Xi ( i = 1, , n ) 的边缘分布函数:,二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律,对二维离散型随机变量( X, Y ):,为 ( X, Y ) 的分布律，或 X与 Y 的联合分
4、布律.,( X, Y ) 的分布律的性质:,可列表表示:,(1) 非负性,(2) 归一性,在二维离散型随机变量( X , Y ) 中, 称,X 的分布律为( X , Y ) 关于 X 的边缘分布律,Y 的分布律为( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布律;,由联合分布律可确定边缘分布律, 对此有:,关于 X 的边缘分布律为,关于 Y 的边缘分布律为,由联合分布律确定边缘分布律, 也可列表给出:,例1: 一整数 N 等可能地在1, 2, , 6十个值中取一个值, D=D(N)是能整除 N 的正整数的个数, F=F(N)是能整除 N 的 素数的个数, 试确定 D 和 F 的联合分布律及边缘分布律.
5、,解:,先由 N 的取值确定 D 和 F 的取值:,1 2 3 4 5 6,N D F,1 0,2 1,2 1,3 1,2 1,4 2,D的可能取值 为1, 2, 3, 4; F 的可能取值 为0, 1, 2 ;,再确定取值的概率,如:,等等.,可得D 和 F 的 联合分布律及 边缘分布律为:,1/ 6 4/ 6 1/ 6,1/ 6 3/ 6 1/ 6 1/ 6,1,例2: 将一试验在同一条件下独立地重复进行，直到成功两次 为止。设每次试验成功的概率为p，令X为第一次成功之前失败的次数，Y为两次成功之间的失败次数，求X 和Y 的联合分布律及边缘分布律.,解:,依题意，X，Y均服从几何分布，其概
6、率分布为,依题意，“X=i”与“Y=j”相互独立，则,其中q=1-p,即为所求X和Y的联合分布律,X 的边缘分布律为：,Y的边缘分布律为：,三、二维连续型随机变量的概率密度与边缘概率密度,对二维连续型随机变量( X, Y )有:,f (x, y) 称为 ( X, Y ) 的概率密度,或称为 X与Y 的联合概率密度.,即: 随机点 (X, Y ) 落在图中阴影区域内的概率为 f (x, y)在该区域上的积分.,f (x, y) 为 ( X, Y ) 的概率密度, 则,(1)非负性,(2)归一性,概率密度的性质:,(3)对 xoy 面上的任一区域 G ,(4)在 f (x, y) 的连续点上,在几
7、何上，Z=f(x,y)表示三维空间的一个曲面，性质（1）说明，该曲面在xoy面的上方：,性质（2）说明，由曲面Z=f(x,y) 和xoy面所包围成的空间区域的体积为1；,性质（3）说明，f(x,y) 在（x,y）处的值放映了(X,Y) （在x,y）附近取值的可能性的大小；,性质（4）说明，P(X,Y) G的值等于以G为底,以Z=f(x,y)为顶的柱体的体积。,在二维连续型随机变量( X , Y ) 中:,X 的概率密度称为( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度,Y 的概率密度称为( X , Y ) 关于 Y 的边缘概率密度.,由联合概率密度可确定边缘概率密度, 对此有:,解:,(1) 依
8、据分布函数的性质可得:,(2),故,解:,(1) 由归一性可得:,(2),故,解:,解:,四、两个常见的二维连续型随机变量的分布,(一) 均匀分布,设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A;,若二维随机变量 ( X,Y ) 的概率密度为,则称（X, Y）在G上服从均匀分布.,例如: 向平面上有界区域 G 上任投一质点, 若质点 落在 G内任一小区域 B 的概率与小区域的面积成 正比, 而与 B 的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X, Y ) 在 G 上服从均匀分布.,(二) 二维正态分布,若二维随机变量 (X, Y ) 的概率密度为,则称 (X, Y) 服从参数为,的二维正态分布.,记作 (
9、X, Y ) ,可以证明: 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布.,则,若 (X, Y ) ,注意: 由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.,3.2.2 条件分布,1.离散型随机变量的条件分布,例 设随机变量(X,Y)分布律为,求Y=1条件下随机变量X的分布律X|Y=1,解: P(X=i|Y=1)=,设离散型随机变量(X,Y)联合分布律P(X=xi,Y=yj)=Pij, i,j=1,2,若P(Y=yi)0,则Y=yj条件下,随机变量X的分布律为:,P(X=xi,|Y=yj) =Pij/p.j i=1,2,即,同理 P(Y =yj, |X =xi) =Pij/pi.
10、 j=1,2,定义: 给定的X=x的条件下,随机变量Y的条件分布函数定义为:,2 连续型随机变量的条件分布,也记为:,同理可得,若记 X=x条件下关于Y的条件密度函数,例 设二维随机变量(X,Y)求,解,3.2.3 随机变量的独立性,也就是:,定义: 若对任意的 x, y 都有,则叫随机变量 X与 Y 相互独立.,对二维离散型随机变量 ( X, Y ):,解:,由归一性得,再由独立性列出其它式子, 为此需确定边缘分布:,取一式, 如,1,解得,对二维连续型随机变量 ( X, Y ):,(“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立),推论 设（X，Y）是连续型随机变量，f(
11、x,y)为（X，Y） 的概率密度函数，则随机变量X，Y独立的充分必要条件为 f(x,y)=h(x)g(y) 其中h(x)，g(y)分别为x,y函数。,例: 若,证明,（X，Y）的概率密度函数为：,由X及Y的边缘概率密度为：,因X，Y相互独立，则,当x=1, y=2时，有,即,充分性 当=0时，显然f(x,y)=fX(x)fY(y)对任意的 x,y均成立，则X，Y相互独立,解：,对一切x, y, 均有,故 X 与 Y 相互独立.,例 甲到达办公室的时间均匀分布在8到12点. 乙到达时间均匀分布在7到9点. 若他俩到达时间相互独立, 试求: 到达的时间相差不超过5分钟的概率.,解:,设 X 为甲到
12、达时刻, Y 为乙到达时刻,依题意: XU(8, 12), YU(7, 9),结合图形可求出:,(G 的面积),3.3 两个随机变量的函数的分布,如何由 (X , Y )的分布求出 Z = g (X, Y )的分布? ( 设 g 为连续函数),例1: 设（X,Y)的分布律为,一、离散型分布的情形,解:,求 Z=X+Y 的概率分布.,4/20 3/20 2/20 6/ 20,-1 0 1 2,2/20 0 2/20 1/ 20,-12,以概率分布表的形式给出结果如下表:,4/20 3/20 2/20 6/ 20 2/20 0 2/20 1/ 20,(-1,-1) (-1,0)(-1,1) (-1
13、,2)(2,-1) (2,0) (2,1) (2,2),-2 -1 0 1 1 2 3 4,由此得到X+Y的概率分布为,4/20 3/20 2/20 8/ 20 2/20 1/ 20,例2: 设XP(1) , YP(2) ,且X与Y相互独立. 求证X+Y P(1 +2).,解:,则X+Y 所有可能取值为0,1,2,且,因X与Y相互独立,该结论称为泊松分布的加法性质.,二、连续型分布的情形,例 : 设 X 和 Y 的联合密度为 f (x, y), 求 Z=X+Y 的密度,已知 (X , Y )的概率密度为 f (x, y), 欲求 Z=g (X, Y )的密度?,一般可通过分布函数法来处理.,Z
14、=X+Y 的分布函数是:,解:,由概率密度与分布函数的关系, 即得 Z=X+Y 的概率密度为:,由 X 和 Y 的对称性, fZ (z) 又可写成,特别，当 X 与 Y 独立时，则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,已得 Z=X+Y 的分布函数,注意此例的结论：,若 X 和 Y 独立, 具有相同的分布 N(0, 1), 则,Z=X+Y 服从正态分布 N(0, 2).,用类似的方法可以证明:,此结论可以推广到 n 个独立随机变量之和的情形.,有限个独立正态变量的线性组合服从正态分布:,若,且它们相互独立, 则,解:,Z 的分布函数是:,求 Z=X+Y 的概率密度.,续解:,求 Z=X+Y 的概率密度.,已求出,续解:,故,多维随机变量及其分布,多维随机变量的 联合分布函数 及边缘分布函数,离散型随机变量的 联合分布律及边缘分布律,连续型随机变量 联合概率密度及 边缘概率密度,随机变量 的独立性,密度函数 的性质,常见的 连续型分布,均匀分布,正态分布,多维随机变量 函数的分布,
