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1、5 曲面与空间曲线,例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是|AM|=|BM|由距离公式得,一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念：,而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形。,定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，,整理得,此即所求点的规迹方程，为一平面方程。,2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：坐标平面xOy的方程：z=0过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行的
2、平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b,3. 球面方程：球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2,例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面,解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。,球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。,球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0,一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的
3、柱面方程。 此时有以下结论：,分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。,若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。,4.母线平行于坐标轴的柱面方程：,圆柱面；,椭圆柱面；,以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。,几种常见柱面：x+y=a 平面；,4.旋转曲面：一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直 线l旋转一周所成的曲
4、面称为旋转曲面。其中c称为母线， l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此 时有以下结论：,设yOz平面上有一已知曲线c其方程为f(y,z)=0，将c绕z轴旋转一周，所得到的以z轴为轴的放置曲面的方程为：,同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：,同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面,绕y轴为,以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得 曲面,绕z 轴得曲面,例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面方程。,解：将yOz面上的直线z=yctg 绕z轴旋转一周即得圆锥曲面,整理后得：,其中a=ctg,二.空间曲线及其方程：1.空间曲线的一般方程：空间曲线
5、一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为,称此方程组为曲线c的一般方程。,解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。,表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上,半径为1的上半球面,例 方程 表示怎样曲线,解： 表示中心在原点，,其圆心在 ，半径为,2.空间曲线的参数方程：,方程组,称为空间中曲线的参数方程。,设空间曲线方程,如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组,并有它解出y=（x），Z=Z（x）得,例 如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正
6、方向移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程,螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z由 变到 这说明当 转过角 时， 点沿螺旋线 升了高度 ，即上升的高度与 转过角度成正比。,三.空间曲线在坐标面上的投影：,在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L,母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。 此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲 线，简称投影，其方程为,同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为,和,解 消去Z得1-y2=3x2+y2,投影柱面方程为3x2+2y2=1,例 求曲线L： 在三个坐标面上的投影曲线,投影曲线方程,投影曲线方程
7、,消去x得Z=1-y2,投影曲线方程,消去y得3x2+1-2Z=0,投影柱面方程为3x2-2Z-1=0,投影柱面方程为Z=1-y2,的交线是一条空间曲线,例 两个柱面 和,例5：求曲线,在xOy面上的投影方程。,解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为,从而曲线在xOy面上的投影方程为,四 二次曲面,通过截痕法，了解二次曲面的全貌,1.椭球面,与三个坐标面的交线均为椭圆,若a=b,则 旋转椭球面,2 单叶双曲面,Z=h 截,截痕为一椭圆。,x=h ，或y=h截,截痕为一双曲线。,2）当 时，截痕为一对直线,1）当 时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平 行与z轴，当 由零增大到b时，曲线的两半轴缩小至零。,3）当 时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚 轴平行与x轴，当 由 b增大时，曲线的两半轴也增大。,同样用平行于yoz的平面相截时截痕也是双曲线，可用 同样的方法讨论。,这是单叶旋转双曲面。,当a=b时，方程变为,3 双叶双曲面,双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面,Z=h截，截痕为,当x=h，或y=h截，截痕为双曲线,4 椭圆抛物面,当 时为椭圆,当 时无截痕，当 时是两点（0，0， ）,5 双叶抛物面,6 二次锥面,
