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1、第二章 流体静力学,2-2 流体平衡微分方程,2-1 静止流体的压力特征,2-3 静止流体的压强分布,2-4 液柱式测压计,2-6 静止流体作用在平面壁上的总压 力,2-7 流体的相对静止,一、作用在流体上的力,1 静止流体的压力特征,按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。,按作用方式分：质量力和面积力。,质量力 又称体积力，是某力场作用在全部流体质点上的力，是一种非接触力，与质点的质量正比。如重力，静电力，电磁力；,质量力的表示方法：,取一微元体，其质量为m,其上受到的质量力用 表示，单位质量流体受到的质量力用 表示，单位质量力在直角坐标上的投影为,m,其大小等于各
2、向加速度。,在重力场中,面积力又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面积成正比。,故,面积力的表示方法,表面力按作用方向可分为：,压力：垂直于作用面。 切力：平行于作用面。,应力 单位面积上的表面力，单位：,压强,切应力,A,A,二、静止流体中任一点应力的特性,1） 静止流体表面应力只能是压应力即压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。,因为：流体不能承受拉力且具有易流动性。可画出容器中压力的方向,2）作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方位无关。,即有：,反证法：在静止流体中任取一点，过这点可做无数个方位不同的作用面，,A1
3、,A2,A3,p1,p2,p3,在这些面上过该点可画出无数个作用力，这些力大小相等，方向不同。如力大小不等，该点就会运动，与静止前提不符,证明：从平衡状态下的流体中取一微元四面体ABCD，如图所示取坐标轴。由于液体处于平衡状态，则有 即各向分力投影之和亦为零，则：,n为斜面 BCD 的法线方向,x方向受力分析,表面力,质量力,或：,当四面体无限地趋于A点时，则dx0，所以有：,类似地有,是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与作用面的方位无关。,说明： (1) 静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各向静压强大小相等。,(2) 运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产
4、生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值， 即,2 流体平衡微分方程,一、欧拉平衡微分方程,在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，对其进行受力分析：,Y方向受的力,质量力,表面力,根据平衡条件，在 y 方向有 即：,整理得：,流体平衡微分方程（欧拉平衡方程）：,(1),另两个方向也可同样推导。,物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力与质量力彼此相等。,用矢量表示：,哈米尔顿算子,压力梯度,二、流体平衡微分方程的综合式,因为p = p(x,y,z),将（1）式各项依次乘以dx，dy，dz后相加得：,故压强全微分：
5、,方程左边是压力的全微分，右边也应是某个函数 的全微分（为常数）,有,即：,此式称压差方程。,称为力势函数,存在力势函数的质量力是有势力。,而,故,三、等压面方程：,由,当,有,此式称为等压面方程。满足等压面方程点一定是压力相等的点，压力相等的点组成的面是等压面。,其矢量式为：,两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直，即质量力与等压面垂直。当已知质量力的方向就可知等压面的形状。,例：在重力场绝对静止时，质量力只有重力：,代入等压面方程有： 积分,得,由此可知，此时等压面是一簇水平面。,3 静止流体的压强分布,一、水静力学基本方程,重力作用下静止流体质量力：,代入平衡微分方程或压差方程：,得,积分,
6、在自由液面上有：,水静力学基本方程：,若用相对压力表示，当,o,x,H,h,z,A,p0,静水力学基本方程又可写为：,在容器中任意两点,各项的物理意义及几何意义：,o,o,Z1,Z2,p1 /,(1),(2),h,p2 /,pa,pa,z ：任一点在基准面 oo 以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。（位头 ）,：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头）。,（ ）：单位重量流体的总势能 和测压管水头。,方程的物理意义及几何意义：,仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能,为一常数，即各点测压管水头相等，
7、位头增高，压头减低。,二.压力分布规律,1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加，压强分布与容器形状无关。,2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。,淹深,讨论,3）只有重力作用下、绝对静止的连通器内，同质相连流体在同高时压力相等。此时的等压面为水平面，自由表面、分界面均为等压面。,4）液面压强的变化可等值地在流体内部传递。（巴斯卡原理）,思考：,问：,？,哪几个是等压面？,静水奇象：,A,A,h,底面积 A相同，水深 h 相同，问：底面积 A上受力是否相同？若放在桌上，对桌子的作用力是否相同？,画出下例图形的压力
8、分布图：,h,h1,h2,画出下例图形的压力分布图：,三、压强的表示方法及单位,1、压强的表示方法,绝对压强：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用pabs表示，pabs 0 。,相对压强：又称“表压强”，是以当地工程大气压(at)为基准计量的压强。用p表示，p= pabs pa ， p可“”可“ ”，也可为“0”。,真空：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的相对压强。用pv 表示。,真空值pv,真空高度,注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。,2.压强的计量单位,a) 以单位面积上的作用力来表示b)大气压来表示标准大气压：atm工程大气压：at,c)液柱高,
9、水柱高 mH2O： 1atm相当于1at相当于汞柱高Hg： 1atm相当于1at相当于,4 液柱式测压计,一、测压管,是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接和大气相通的直管。,适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。,用等压面原理计算：,A点压强可表示为：,或,如果被测点A的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺读数，常采用以下两种方法：,（1）将测压管倾斜放置，此时标尺读数为L，而压强水头为垂直高度h，则,h,A,p0,L,（2）在测压管内放置轻质而又和水互不混掺的液体，重度 ，则有较大的h。,二、水银测压计与U形测压计,适用范围：用
10、于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。 取 oo 等压面：,或,三、压差计,压差计,空气压差计：用于测中、低压差,油压差计：用于测很小的压差,水银压差计：用于测高压差,适用范围：测定液体中两点的压强差或测压管水头差。,压差计计算,o,o,h,1,1,2,2,2,A,B,已知,取基准00，等压面11，222,对U形管左、右两边有,两式相减,由几何关系：,两点的势能差为 若 ZA=ZB,两点压差,四、金属测压计（压力表）,适用范围：用于测定较大压强。是管路系统最常用的测压仪表。,五、真空计（真空表）,适用范围：用于测量真空。,例1： 如图差压测压管。已知a、b、c 及密度 ，求1、2
11、两截面压力差 。,例3：将两个形管串联在一起去测量一个贮气罐中的气体压力。如图所示，设已知,大气压力为760mm汞柱， 问气体的压力等于多少？,1,1,2,2,6 静止流体作用在平面壁上的总压力,一.平面壁上的作用力,平板上各点水深不同，故各点水压不等,c,D,y,y,y,h,h,h,D,c,c,D,x,o,y,pa,F,d,F,取微小面积dA，其淹深为h,作用在其上的合力为dF,1.总压力的大小,积分：,式中,面积矩,为面积A对于ox轴得面积矩，它等于面积A与其形心 C到x轴的距离yc的乘积。,结论：任意形状平面的静水总压力F，大小等于受压面面积A与其形心点的静压强pc 之积。,注意：在应用
12、此式时，p0用相对压力，当平板两边都作用了大气压力，大气压相互平衡，合力为,2、总压力作用点（压力 中心）,用合力矩定理：总压力对x轴的矩应等于各微元面积上的合力对x轴之矩的代数和。,即,利用轴的平移定理：,有,注意：式中p0用相对压力。,由此可见：作用点D在形心点c的下方。,3、总压力的方向,垂直指向作用面。,结论：当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角无关； 压心总是在形心之下。只有当受压面 位置为水平放置时，压心与形心才重合。,惯性矩：,b,c,h,yc,形心：,yc,d,c,形心：,惯性矩：,二、曲面上的流体静压力,作用在曲面上各点的流体静压力都垂直于容器壁面，因此各
13、点作用力的方向不同，是一空间汇交力系。,水平分力 F,1.总压力的大小和方向,讨论如图所示1/4圆柱面，在其上取一微元面积 EF，作用在微元面积上的合力为dF,由于是二向曲面，可将作用力分解成两个方向分别积分，再求合力。,x,结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力Fx等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力。,式中 为面积 Ax对oy轴的静面矩。,注意：此式的应用条件 否则,Fx的作用点与平板作用点的求法相同。,垂直分力Fz,式中： 是曲面ab上方的体积，称之为压力体。用V表示。,结论：作用于曲面上的静水总压力 F的铅垂分力 Fz等于该曲面上的压力体所包含的液体重量，其作用线
14、通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。,故,总压力的大小和方向：,只需分别求出Fx、Fz的作用点，合力必通过两分力的交点，作用在壁面上。,实际上任意形状压力体的重心不好找对规则二向曲面可用做图法求合力作用点。,二向曲面做图求合力作用点：,1）求出Fx、Fz的大小,2）算出方向角或,3）过圆心做水平线，量出角，合力 F与水平夹角为，画出 F的作用线与壁面相交，交点即为作用点。,F,xD，yD,2.压力体的画法：,压力体体积的组成：受压曲面本身；通过曲面周围边缘所作的铅垂面；自由液面或自由液面的延续面。,压力体有实压力体和虚压力体。实压力体Fz方向向下，虚压力体Fz方向向上。,(a)实压力体,例1.平板闸门自重 G=20KN ,档水深度 h=2.5m，闸门与竖壁的摩擦系数0.3，试求闸门提升时所需的力T，闸门宽为1。,空气,例2.如图，闸门宽为1.5m，上板A处有一固定铰轴，已知 忽略闸门自重，求开启阀门所需的力T.,解图：,例3：如图水闸，闸门可绕 o 转动，当上游水位超过 H=2m时，要求闸门自动开启，试求铰链轴的位置 x ,闸门另一侧的水位高 h=0.4m,60,例3 解图：,例4.如图，为使板 AB平衡，在B点必须施多大的力？AB板宽1.2 m，A点铰接，G 的读数 ，右边油箱油比重s=0.7， 为已知。,
