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1、范例5.7 弹簧振子的阻尼振动,一弹簧振子的质量为m，倔强系数为k。振子还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为。当振子从静止开始运动时，初位移为A。物体的运动规律是什么？不同的阻尼下的位移曲线和速度曲线有什么差别？,解析根据牛顿运动定律，物体运动的微分方程为,取k/m = 02，/m = 2，,物体的运动方程可表示为,设微分方程的解为x = ert，代入上式得特征方程r2 - 2r + 02 = 0。,特征方程的解为,设,可以是实数和零以及虚数，则r1 = - + ，r2 = - 。,0就是无阻尼时物体的固有角频率，是阻尼因子。,微分方程的解为,其中C1和C2是由初始条件决定的常数
2、。,范例5.7 弹簧振子的阻尼振动,当t = 0时，x = A，v = 0，因此可得,A = C1 + C2，0 = C1(- + ) + C2(- - ),如果 0，即 0，解得两个常数分别为,因此物体的位移为,物体的速度为,一弹簧振子的质量为m，倔强系数为k。振子还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为。当振子从静止开始运动时，初位移为A。物体的运动规律是什么？不同的阻尼下的位移曲线和速度曲线有什么差别？,物体运动的速度为,范例5.7 弹簧振子的阻尼振动,当 0时，即是正实数，这是过阻尼的情况，位移按指数规律衰减。,当 0时，即 0，不论用罗必塔法则还是用公式et 1 + t和e
3、-t 1 - t，都可得x = A(1 + 0t)exp(-0t)。,这是临界阻尼的情况，位移仍然按指数规律衰减。,讨论,当 = 0时，则 = i0，,为虚数单位,可得,可见：在不计阻尼的情况下，物体作简谐振动。,范例5.7 弹簧振子的阻尼振动,讨论,当0 0时，设,则 = i，,利用欧拉公式ei = cos + isin，e-i = cos isin，,可得,位移为,或,其中,这就是欠阻尼的情况，振幅按指数规律衰减。,物体作准周期性运动，是其角频率，准周期为,阻尼因子越大，周期越长。或者说：阻尼使振动变慢了。,利用双曲函数sinh = (e - e-)/2，cosh = (e + e-)/2，,位移可表示为,用哪一个位移公式都能计算，只要取实部就行了。,质点运动的位移曲线如图所示，阻尼因子越大，物体达到静止所需要的时间越长。,在临界阻尼情况下，物体到达静止所需要的时间最短。,阻尼因子越小，物体振动的准周期越短，振动时间也越长。,质点运动的速度曲线如图所示，物体的速度从零开始反方向增大，经过一个极小值之后再反方向减小。,极值所在处的加速度为零。,约化阻尼因子大于和等于1时，速度大小会逐渐减小为零；阻尼因子比较小时，物体速度也会作周期性变化。,
