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1、2018/9/16,离散傅立叶变换,1,离散傅立叶变换,赵明,2018/9/16,离散傅立叶变换,2,、引 言,传统的离散时间傅立叶变换（DTFT）的特点 输入序列 即可是无限长序列，也可是有限长序列 计算结果 是一个连续函数 计算机处理的要求 输入必须是有限长 计算结果必须是离散 如何使得算法可以适应计算机处理 改造算法以适应计算机处理,2018/9/16,离散傅立叶变换,3,离散时间的傅立叶级数与变换,离散时间傅立叶级数 输入是离散的（周期的） 谱系数是离散化的 离散时间傅立叶变换 输入是离散的（非周期的） 输出是连续的（周期趋于无穷，谱系数连续化）,2018/9/16,离散傅立叶变换,4
2、,傅立叶变换几种形式,非周期连续时间信号傅立叶变换 时域连续，频域连续 周期连续时间信号傅立叶变换 时域连续，频域离散 非周期离散时间信号的傅立叶变换 时域离散，频域连续（周期） 周期离散时间信号的傅立叶变换 时域离散，频域离散（周期）,2018/9/16,离散傅立叶变换,5,周期离散时间与周期离散频域的关系,一个域中对函数取样，取样间隔的倒数就是另一个域中的周期 时间上的采样间隔T，频域上周期 频域上采样间隔 ，时域上周期NT 以数字频率表示 频域取样间隔为 周期离散时间信号的傅立叶变换的理解 时域离散，频域连续（周期） 对频域采样，导致时域周期化,2018/9/16,离散傅立叶变换,6,离
3、散傅立叶级数,2018/9/16,离散傅立叶变换,7,离散傅立叶级数,一个周期为N的离散时间序列 都可以用一组谐波的线性组合 来表示。,仍然具有周期为N的周期特性,注意 这里 没有做1/N处理,2018/9/16,离散傅立叶变换,8,离散傅立叶级数性质,线性特性 序列移位时域移位 序列移位频域移位 周期卷积时域卷积周期卷积频域卷积,2018/9/16,离散傅立叶变换,9,离散傅立叶级数局限性,DFS的局限性 DFS的输入为周期序列 我们没有办法准确的知道一个序列是周期序列! 因为我们不可能知道这个序列未来的情况 DFS的局限性克服 DFS输入序列和输出序列都是周期,因此知道一个周期的数值就知道
4、了全体内容,2018/9/16,离散傅立叶变换,10,离散傅立叶变换局限性克服,单周期内容和DFS的关系 一个周期的内容决定了整个时间的输入序列的值,因此可以决定X(k),我们定义下列的变换对,2018/9/16,离散傅立叶变换,11,离散时间傅立叶变换周期特性,DFT隐含周期性 时域的取样意味着频域的周期性 频域的取样意味着时域的周期性 DFT对于有限序列进行N点的时间展开求傅立叶变换已经意味着对原序列默认了周期性,有限长序列和周期序列的本质关系 周期序列可以看作有限长序列的周期延拓 有限长序列可以看作周期序列的主值区间,2018/9/16,离散傅立叶变换,12,周期延拓和主值区间,周期延拓
5、,主值区间,主值 区间,2018/9/16,离散傅立叶变换,13,DFT和DFS之间的关系,DFS结果（无限长）是DFT结果（有限长）的周期延拓 DFT结果是DFS的主值区间DFT具有隐含的周期性,2018/9/16,离散傅立叶变换,14,离散傅立叶变换的性质线性性质,如x1,x2长度分别为N1,N2,而且N1!=N2则X3的长度必须=max(N1,N2)进行计算才能满足线性关系。计算方法为变换前短的序列补零。,2018/9/16,离散傅立叶变换,15,离散傅立叶变换-逆变换,证明：,2018/9/16,离散傅立叶变换,16,离散傅立叶变换性质对称定理,证明：,对称定理,说明：X(n)的谱序列
6、和x(n)是倒置的,2018/9/16,离散傅立叶变换,17,离散傅立叶变换,反转定理 序列总和 序列初始值 延长序列的离散傅立叶变换,2018/9/16,离散傅立叶变换,18,先验知识序列的圆周移位,只考虑区间 0,11，产生信息损失,2018/9/16,离散傅立叶变换,19,圆周移位周期延拓,称为圆周移位或者循环移位,2018/9/16,离散傅立叶变换,20,1. 有限长序列圆周移位定理时间移位定理,2. 有限长序列圆周移位定理频域移位定理,时移可以引起谱线的相移,频移可以引起时域序列调制了特定的频率即：,2018/9/16,离散傅立叶变换,21,圆周卷积及其与线性卷积的关系,圆周卷积定理
7、（时域）注意是圆周移位 圆周卷积（频域）可以从离散傅立叶级数的周期卷积特性来推导DFT的圆周卷积定理。 圆周卷积和线性卷积的关系 圆周卷积是线性卷积以N为周期进行沿拓后再取主值区间的结果,2018/9/16,离散傅立叶变换,22,圆周卷积和线性卷积的关系,线性 卷积,圆周 卷积,2018/9/16,离散傅立叶变换,23,圆周卷积和线性卷积的关系,周期延拓的等价表示,线性卷积-周期卷积 我们从周期卷积开始 圆周卷积是周期卷积的主值区间 周期卷积是圆周卷积的周期延拓,2018/9/16,离散傅立叶变换,24,圆周卷积的等价定义计算,圆周卷积是周期卷积的主值区间,的周期卷积是它们的线性卷积 以L为周
8、期的延拓,线性卷积,2018/9/16,离散傅立叶变换,25,圆周卷积与线性卷积地关系的结论,进一步,我们说,两个序列的L点圆周卷积是其线性卷积以L为周期进行周期延拓的序列的主值区间,1、两个序列周期卷积是圆周卷积的周期延拓 2、两个序列的周期卷积是线性卷积的以L为周期的周期延拓 结论！ 两个序列的L点圆周卷积的周期延拓和两个序列的线性卷积的L点的周期延拓结果相同!,2018/9/16,离散傅立叶变换,26,圆周卷积和线性卷积的关系(续) 周期L的取法,如果圆周卷积的点数大于2个序列的线性卷积的长度,圆周卷积和线性卷积的结果一致,讨论 1.L大于等于线性卷积的序列长度 此时周期延拓后的主值区间
9、和原序列一致 2.L小于线性卷积的序列长度 周期延拓后的主值区间和发生头尾混叠,2018/9/16,离散傅立叶变换,27,圆周卷积和线性卷积的关系(续) 周期L的取法（举例）,L=N+M-1时，不发生混叠,2018/9/16,离散傅立叶变换,28,线性卷积的计算方法,线性卷积的结果是无穷长序列怎么使用圆周卷积计算线性卷积?,缘由 如果L大于等于线性卷积的序列长度,线性卷积和圆周卷积结果一致 圆周卷积可以采用DFT进行运算,我们将在后续课程中介绍快速DFT运算方法,2018/9/16,离散傅立叶变换,29,重叠相加法,回顾 1、线性卷积具有线性性质 2、一个无穷长序列可以表示成无穷个有限长序列的
10、和,2018/9/16,离散傅立叶变换,30,重叠相加法2,1、将原序列拆分为无穷个有限长序列（长度为N)的短序列之和 2、各个短序列分别是h(n)进行线性卷积，h(n)的长度为M,利用长度为L(LN+M-1)的圆周卷积进行计算 3、各段的结果进行相加, 得到原始序列的响应,2018/9/16,离散傅立叶变换,31,重叠相加法举例,2018/9/16,离散傅立叶变换,32,重叠保留法,使用M点圆周卷积得到的结果,从M-1,N-1,2018/9/16,离散傅立叶变换,33,重叠保留法,于是计算出来的(M-1)到(N-1)为真实可靠的计算结果，予以保留，每一次一共N-M+1个点有效 其余的x(0)
11、,x(M-2)点舍弃 于是我们得到每次截取的x1(n)的n的取值范围，得到的计算结果是(k-1)*(N-M+1)到k*(N-M+1)-1，可以得出需要取的x0的范围是(k-1)*(N-M+1)-M+1至k*(N-M+1)每次重叠M-1个点，因此就称为重叠保留法,2018/9/16,离散傅立叶变换,34,离散傅立叶变换性质（续）,圆周相关定理 若则帕斯瓦尔定理,2018/9/16,离散傅立叶变换,35,离散傅立叶变换性质（续） DFT的对称性和奇偶性,序列的共轭对称与共轭反对成分量,共轭对称序列,共轭反对称序列,对于N长度的序列，两个对称分量长度皆为2N-1， 和DFT应用条件不符,对比之下：周
12、期序列的共轭对称分量 和轭对称分量 仍然具有周期性，周期为N,以n=0为中心，两边实部相等，虚部相反,以n=0为中心，两边实部相反，虚部相等,2018/9/16,离散傅立叶变换,36,周期序列的共轭对 称分量和反对称分量,取主值区间,DFT具有隐含的周期特性 考虑从周期序列的共轭对称分量和共轭反对称分量入手，得到其周期延拓的2个分量取主值区间,2018/9/16,离散傅立叶变换,37,称为列长为N的序列x(n)的周期性共轭对称分量称为列长为N的序列x(n)的周期性共轭反对称分量它们具有如下性质：,2018/9/16,离散傅立叶变换,38,奇序列DFT性质 时域序列奇对称，则DFT也奇对称偶序列
13、DFT性质 时域序列偶对称，则DFT也偶对称共轭复序列DFT性质如考虑到k可能为0,上式子精确表达为,关于DFT的奇偶性和对称性的一些性质,2018/9/16,离散傅立叶变换,39,复数序列的DFT,满足 ，构成 的共轭对称分量,意义：可以将两个实序列 构成一个复数序列，求取DFT后，分成共轭对称和共轭反对称分量，分别对应了这两个实数序列的DFT,满足 ，构成 的共轭反对称分量,2018/9/16,离散傅立叶变换,40,特殊序列的DFT,虚序列 DFT只有周期性共轭反对称分量，所以实部是奇对称，虚部是偶对称 实序列 DFT只有周期性共轭对称分量，所以实部是偶对称，虚部是奇对称 以上特性可以用于
14、计算，只要计算一半的X(k)即可得到所有的值。,其他性质 实偶序列，DFT为实偶对称序列由此为实偶对称 实奇序列，DFT为虚的奇对称 虚偶序列，DFT为虚的偶对称 虚奇序列，DFT为实的奇对称,2018/9/16,离散傅立叶变换,41,DFT和滤波器组之间的关系,考虑如下冲激响应的滤波器,输入序列,2018/9/16,离散傅立叶变换,42,DFT与滤波器关系,我们分析这个滤波器特性 使用z变换分析 不同的X(k)是不同滤波器输出的结果，需要对每个滤波器进行单独的分析,2018/9/16,离散傅立叶变换,43,DFT和滤波器的关系,幅度频率响应,2018/9/16,离散傅立叶变换,44,DFT和
15、滤波器的关系,讨论滤波器的主峰和旁瓣的幅度差，第一旁瓣出现的位置在， ，相对于主瓣衰减为：,若取N=8,换算为对数比例：6.47dB,DFT可以看作是一组中心频率为 的滤波器来对输入序列进行滤波。对第k个滤波器，它在N-1时刻输出的就是 频率分量的傅立叶系数X(k)，如x(n)中有某频率分量不是 的整数倍，那么在左右两个滤波器上都有输出值。 所以，DFT进行谱分析，分辨能力决定于谱线间隔 ， 称为频率分辨率,2018/9/16,离散傅立叶变换,45,DFT和Z变换的关系,DFT就是对Z变换单位圆上的结果进行N点等间隔取样， 也就是对DTFT的采样,2018/9/16,离散傅立叶变换,46,频率
16、取样,DFT是z变换的一个单位圆上的等间隔取样 问题1：该取样能不能完整重构时域x(n) 问题2：能不能利用DFT结果来实现对信号频率域(Z变换)的完全重构 回顾时域采样 条件:频率域必须是带限信号才可能无失真的恢复原信号(频率域必须受限）,2018/9/16,离散傅立叶变换,47,频率取样,分析 取样时对取样点数的限制,和DFT的不同，注意上下限是无穷, 表示对x(n)长度不限,2018/9/16,离散傅立叶变换,48,频率取样,2018/9/16,离散傅立叶变换,49,频域取样,结论：1、频域取样经过IDFT后的周期延拓和原信号以取样点数为周期进行延拓的结果一样，就是频域取样会造成时域的周期延拓2、如果x(n)的长度有限，频域取样点数大于x(n)长度，可以不失真的恢复原信号，如果取样点数小于x(n)长度，会发生混叠,
