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1、离 散 数 学,浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院,第一章 命题逻辑题解,2018/9/16,离散数学,3,(1) 指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题，指出它的真值。a) 离散数学是计算机科学系的一门必修课。b) 计算机有空吗？c) 明天我去看电影。d) 请勿随地吐痰！,习题1-1(1),答：a)是命题。是真命题。,答：b)不是。,答：c)是命题，但真值需根据具体情况确定。,答：d)不是命题。,2018/9/16,离散数学,4,e) 不存在最大质数。f) 如果我掌握了英语、法语，那么学习其它欧洲语言就容易得多。g) 。h) x3。i) 我们要努力学习。,答：e)是命题。
2、是真命题。,答：f)是命题。是真命题。,答：g)是命题，是假命题。,答：i)不是命题。,答：h)不是命题。,习题1-1(3),(3) 设表示命题“天下雪。”表示命题“我将去镇上。”表示命题“我有时间。” 以符号形式写出下列命题。 如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。 我将去镇上，仅当我有时间时。 天不下雪。 天下雪，那么我不去镇上。,2018/9/16,离散数学,5,题解：1-1(3),:天下雪。 :我将去镇上。:我有时间。 a)如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。b)我将去镇上，仅当我有时间时。c)天不下雪。d)天下雪，那么我不去镇上。,2018/9/16,离散数学,6,答： ( P
3、R)Q,答：QR,答： P 。,答：PR,习题1-1(5),(5) 将下列命题符号化。a) 王强身体很好，成绩也很好。b) 小李一边看书，一边听音乐。c) 气候很好或很热。d) 如果a和b是偶数，则a+b是偶数。e) 四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行。f) 停机的原因在于语法错误或程序错误。,2018/9/16,离散数学,7,题解：1-1(5),(5) 将下列命题符号化。 a) 王强身体很好，成绩也很好。b) 小李一边看书，一边听音乐。c) 气候很好或很热。,2018/9/16,离散数学,8,答：原子命题：P:王强身体好; Q: 王强成绩好。,PQ,答：原子命题 P: 小李看书
4、; Q: 小李听音乐。,PQ,答：原子命题 P: 气候好; Q: 气候热。,(PQ)(PQ),题解：1-1(5),d) 如果a和b是偶数，则a+b是偶数。e) 四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行。f) 停机的原因在于语法错误或程序错误。,2018/9/16,离散数学,9,答：原子命题P: a是偶数; Q: b是偶数; R: a+b是偶数。,PQR,答：原子命题P:ABCD是平行四边形; Q: ABCD的对边平行。,PQ,答：原子命题： P:停机的原因是语法错误; Q:停机的原因是有程序错误。,P Q,题解：1-2(1),(1)判别下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。a) (
5、Q)。b) (P(RS)。c) (PQ) (QP)。d) (RST)。e) (P(QR) (PQ) (PR)。,2018/9/16,离散数学,10,a) 是。b) 是。c) 不是;多个闭括号。d) 不;缺联结词。e) 是。,习题1-3(5),(5) 试把原子命题表示为，等，然后用符号译出下列各句子。a) 或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。b) 如果张三和李四都不去，他就去。c) 我们不能既划船又跑步。d) 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。,2018/9/16,离散数学,11,题解：1-3(5),a)或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。 b)如果张三和李四都不去，他就去。
6、,2018/9/16,离散数学,12,答： a)原子命题设 A: 你写信; B:信丢了;,答:b)原子命题 设 A:张三去; B:李四去; C:他去; (AB ) C,即 ABC,题解：1-3(5),c) 我们不能既划船又跑步。d) 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。,2018/9/16,离散数学,13,答: c) 原子命题 设 A:我们划船; B:我们跑步;,(AB ) 或 A B,答:d) 原子命题 设 A: 你 来 ; B: 他唱歌: C:你伴奏; A (BC),习题1-3(7),(7) 用符号形式写出下列命题。a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或者看报。b)
7、 我今天进城，除非下雨。c) 仅当你走我将留下。,2018/9/16,离散数学,14,题解：1-3(7),a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或者看报。,2018/9/16,离散数学,15,答：a)原子命题： 设P:下雨; Q:我看电影; R:我读书; S:我看报。,b)我今天进城，除非下雨。,答：b)原子命题：设P:我进城; Q:下雨。 Q P。,不是： P Q，不是用进城来判定下雨，命题没有这个意思。,如：指南针指向南或北，除非旁边有磁铁。 意为：如果旁边没有磁铁，指南针指向南或北。,题解：1-3(7),c) 仅当你走我将留下。,2018/9/16,离散数学,17,答：c)原子
8、命题：设P:你走; Q:我留下。,Q P,不可符合化为： P Q 如果你走了，我则留下。原句没有这个意思，原句是：你走了，我不一定留下，但我留下了，则你一定走了。,题解1-4(1),(1) 求下列各复合命题的真值表。b) (PR)(PQ)。,2018/9/16,离散数学,18,题解1-4(1),e）(P(QR) (PQ) (PR),2018/9/16,离散数学,19,习题1-4(7),(7) 证明下列等价式：a) A(BA) A(A B)。d) (A B) (A B)( AB)。f) A(BC) (A B)C。g) (AD)(BD) (AB)D。,2018/9/16,离散数学,20,题解1-4
9、(7),a) A(BA) A(A B)。,2018/9/16,离散数学,21,证明：A(BA) A(B A), A(AB), A(A B), A(A B),题解1-4(7),d) (A B) (A B)( AB)。,2018/9/16,离散数学,22,证明： (A B) (AB) (BA), ( AB) ( BA),(A B)( AB),题解1-4(7),f) A(BC) (A B)C,2018/9/16,离散数学,23,证明： A(BC) A(BC), ( AB)C,(A B)C,(A B)C,题解1-4(7),g) (AD)(BD) (AB)D,2018/9/16,离散数学,24,证明：(
10、AD)(BD) ( AD)(BD), ( AB) D, (A B) D,(AB)D,习题1-5(1),(1) 试证下列各式为重言式。a) (P(PQ) Q。c) (PQ)(QR)(PR)。,2018/9/16,离散数学,25,题解1-5(1),a) (P(PQ) Q,2018/9/16,离散数学,26,证法1设P (PQ)为假,则P真而(PQ)假。进而得出Q假,因此PQ必假。,证法2 P (PQ) P(PQ) PQ PQ 。由定理1-5.4,原命题得证。,题解1-5(1),c) (PQ)(QR)(PR),2018/9/16,离散数学,27,c)证明：因为(PQ)(QR) (PR) 所以(PQ)
11、(QR)(PR)为重言式,P39（按顺序写变元） 把下列各式化为析取范式： 2-(a)( PQ) RP QR 2-(c) (PQ)(ST)(PQS)(PQT) 2-(e) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) 把下列各式化为合取范式： 3-(a) P(PQR) (PQ)(PR) 3-(c) (PQ) PQ (PQ)(PQ) (PQ)这两个答案都可以 3-(e)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ),求下列各式的主合取范式和主析取范式： 4-(a) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)= 1,2,3 主析取范式0 =PQ 主合取范式,4-(c)P(P (Q(QR) P(P(Q(
12、QR)PQR 主合取范式 = 0 1,2,3,4,5,6,7 =(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR) 主析取范式,4-(e)P(P(QP) P(P(QP) (PP) (P Q P) T0,1,2,3 主析取范式 =(PQ)(PQ)(PQ)(PQ) 主合取范式不存在。,7. A,B,C,D四个人中要派两个人出差，有三个派遣前提： （1）若A去则C和D中要去一人； （2）B和C不能都去； （3）C去则D要留下。 能有几种派遣方法？ 解：设A：A出差，B：B出差，C：C出差，D：D出差，则三个前提可以符号化为： （1）A(CD) （2） (BC) （3） CD,按
13、照题目要求，三个前提必须同时成立，即A(CD)(BC)(CD)(A(CD)(CD) (BC)(CD)(A(CD)(CD)(B C)(BD)C (CD) (ABC)(AB D)(AC) (A CD)(CD BC) (CD BD) (CD C) (CD CD) (CD BC) (CD BD) (CD C) (CD CD),在上述的析取范式中，有些项明显不符合题意： 如(AB D)表示三个人都不出差，这是不满足题意的； 另外如(CD CD) 属于矛盾式，应在式中删除。 故可以得到原式为： (AC)(CDB)(CD) (CDB) 表示存在三种派法：A和C，A和D，B和D。 注意：式中CD可以表示派A和D，或派B和D，与其他三项合并，总共三种派法。,P47 (2_abd,3_abd,4_1,5_ac),2、仅用规则P和T，推证以下各式。 3、用CP规则证明2中各题。,AB，CB AC证法一（仅用规则P和T ）： AB P AB T(1)E条件等值式 CB P BC T(3)E假言易位 AC T(2)(4)I假言三段论,(a) AB，CB AC证法二（CP规则） ： (1) A P(附加前提) (2) AB P (3) B T(1)(2)I析取三段论 (4) CB P (5) C T(3)(4)I拒取式 (6) AC CP规则,
