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1、一、单调有界定理,二、柯西收敛准则,学过数列极限概念后，自然会产生两个问题：一是怎么知道一个数列是收敛的?即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限理论中占有非常重要的地位.,数学分析 第一章 实数集与函数,*点击以上标题可直接前往对应内容,单调有界定理,单调有界数列必有极限.,证 该命题的几何意义是十分明显的.,单调增，有上界.,由上确界的定义，对于任意的,存在,后退 前进 目录 退出,单调有界定理,由确界定理，,例1 设,求,解,这就证明了,单调有界定理,由极限的不等式性, 知道 , 所以,下面再来证明此数列有上界.,单调有界定理,例2 下面的叙述
2、错在哪儿？,因为显然有,从而得出,单调有界定理,单调有界定理,单调有界定理,*例3,证,证明:,单调有界定理,单调有界定理,单调有界定理,例4,证,单调有界定理,单调有界定理,例5 任何数列都存在单调子列.,单调有界定理,单调有界定理,任何有界数列必有收敛子列.,单调有界定理,柯西收敛准则,柯西准则的充要条件可用另一,满足上述条件的数列称为柯西列.,柯西( Cauchy,A.L.17891857 ,法国 ),柯西收敛准则,对任意,都有,种形式表达为：,柯西收敛准则,由此推得,柯西收敛准则,例7,证明,证,柯西收敛准则,发散.,柯西收敛准则,例8,证,柯西收敛准则,论上特别有用,注 柯西收敛准则的意义在于:,项本身的特征来判断该数列是否收敛,赖于极限定义中的那个极限值 A.,可以根据数列通,而不必依,这一特点在理,大家将会逐渐体会到它的重要性.,柯西收敛准则,2. 试给出 an 不是柯西列的正面陈述.,1. 对于数列是否收敛的各种判别法加以总结.,
