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1、二项式定理的发现与推广,倪致祥,科学发现系列讲座,二项式定理的发现,通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:,二项式定理的发现,为了便于看出规律,我们把它补充完整:,二项式定理的发现,为了便于研究其中的规律, 1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数. 他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和. 用公式表示为:,这个结果,中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。,二项式定理的发现,通过进一步研究, 1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:,1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。,二项式定理的推广1,上面得到的结果只适用于指数为
2、自然数的情况,能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢? 1665年,牛顿对此进行了研究。 他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式:,为了便于比较,我们把二项式定理改写为:,二项式定理的推广1,经过仔细比较,不难发现上式中取n=-1时,自动成为无穷递缩等比数列求和公式。 这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。 这个结果有没有一般性?牛顿大胆的猜想:二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的,即:,二项式定理的推广1,这个猜想是否正确?牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时,有:,验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证,结果也与猜想一致。,二项式定理的推广1,然
3、而,仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗?还要不要严格的证明? 牛顿认为这已经足够了,不需要进一步证明,他也没有给出证明。 1811年,高斯对此进行了严格的证明,结果表明牛顿的猜想是正确的。 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用。 现在,人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数,甚至复数时的情况。,二项式定理的推广2,二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式,有时我们也需要计算三项或多项和的n次幂,这时该怎么办? 最容易想到的办法是多次应用二项式定理,即先把后几项合并成一项,应用二项式定理,再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。 例如,对于三
4、项和的n次幂,可以如下计算,二项式定理的推广2,具体写出来是,二项式定理的推广2,为了保持展开后的对称性,我们把展开式写成,二项式定理的推广2,把公式中字母的系数提取出来经过仔细观察,我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方,构成一个正四面体。四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。,二项式定理的推广2,同样的方法,我们可以得到四项和的n次幂的计算公式,二项式定理的推广2,为了看出多项和n次幂的计算公式的一般规律,我们把前面得到的结果列在一起:,二项式定理的推广2,通过认真观察,我们不难发现以下规律: 1)展开式中各个字母的指数和为n; 1)系数的分子都是n!,分母为指数阶乘之积; 3)求和条件为各指数均非负,且和为n 于是,我们可以把这些展开式统一表达为,二项式定理的推广3,上面得到的就是多项式定理,你能把它推广到负指数和分数指数的情况吗? 大胆的试试看,你的创造力会得到激发和锻炼。,