《线性代数第四章线性方程组第2节》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数第四章线性方程组第2节(22页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 齐次线性方程组,齐次线性方程组的概念,齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组的解空间,一、齐次线性方程组,齐次线性方程组,若令,则 (1)可写成矩阵形式:,则 (1) 也可写成向量形式:,那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解?当方程组有非零解时,如何求出其所有的解?,由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式,线性无关,那么R(A)=n。,如果方程组(2)有非零解,则向量组,线性相关,那么R(A)n,定理,证明,只有系数全为零时成立,从而,反之亦然。,齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下:,二、齐次线性方程组的解空间,若用S表示方程组(1)的全体解向量所组成的集合 则上述两
2、个性质即为:,这说明集合 S 对向量的线性运算封闭,所以S 构 成 的一个子空间,称其为齐次线性方程组(1) 的解空间。,是齐次线性方程组,的一组解向量,若它满足下列条件:,三、齐次线性方程组的基础解系,定义,解齐次线性方程组的关键即求其基础解系,进而求出通解。,注意,得行最简形矩阵,定理,以B为系数矩阵的方程组,称为方程组(*)的自由变量,,因为向量组(*)线性无关,按定理,加长的向量组(*)也是线性无关的,这样就得线性方程组(1) 的 n-r个线性无关的解。,则 仍是,的解,并且,的基础解系,即证明了当 R(A)= r n 时齐次,使基础解系由n- r个解向量组成。,说明,方程组的基础解系
3、不是唯一的,方程组的基础解系又称为解空间的基,若 是 的基础解系,则其通解为,解 对系数矩阵进行初等行变换,化成阶梯形矩阵,例 求解齐次线性方程组,由 知方程组有非零解且与下面方程组同解,选 为自由变量,得,令,解得,令,解得,从而得到一个基础解系,方程组的通解为,为任意常数,其中,注意:,将(1)式写成:,则直接可以写出方程组的通解为:,为任意常数,其中,例 求解齐次线性方程组,解 对系数矩阵进行初等行变换,化成阶梯形矩阵,得同解方程组,解得,故得方程组的一个基础解系为:,方程组的通解为,即,同上例:将系数矩阵化成行最简矩阵,得同解方程组:,则可得方程的通解:,线性方程组的解法,(1)应用克莱姆法则,(2)利用初等变换,特点:只适用于系数行列式不等于零的情形, 计算量大,容易出错,但有重要的理论价值,可 用来证明很多命题,特点:适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形,全部运算在一个矩阵(数 表)中进行,计算简单,易于编程实现,是有效 的计算方法,小 结,