《线性代数第五章二次型第一节向量的内积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第五章二次型第一节向量的内积（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,1 向量的内积,一、向量内积的定义和性质,二、向量的长度和性质,三、向量的正交性及其性质,2,n 维列向量:,定义1.,一、向量内积的定义和性质,1. 向量内积的定义,3,注意:,4,2. 性质:,例.,5,定义2.,称为长度(或范数).,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,二、向量的长度和性质,6,注意:,例. 把向量,是单位向量.,7,许瓦兹不等式和夹角,许瓦兹不等式:,定义3. 非零n维向量,规定为:,解:,8,注意:,证明:,反证:,三、向量的正交性及其性质,9,不妨设,矛盾!,证毕.,10,正交规范基,定义5. 设V 是 r 维的向量空间, 向量组,11,求向量空间的正交规范
2、基,12,第二步：单位化. 取,以上所讨论的正交规范基的求法, 通常称为施密特(Schmidt)正交化过程.,13,e1 , e2 即为所求.,14,取它的一个基础解系,再把b2 , b3正交化即为所求a2 , a3 .,也就是取,向量组 a1 , a2 , a3 是所求正交向量组.,所以对齐次方程组,15,定义 如果 n 阶矩阵 A 满足,那么称 A 为正交矩阵.,n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向,设n 阶矩阵 A = ( a1 , a2 , , an ) , 其中 a1 , a2 , , an 是,或者说, n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列,
3、A为正交矩阵，即是,ATA = E ,都是正交矩阵.,例,（行）向量组构成向量空间 Rn 的一个 规范正交基.,A的列向量组.,量组是规范正交向量组.,16,由此可见， A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量,组是规范正交向量组.,17,註:,18,0,0,19,例1. 问矩阵,是否是正交阵?,20,方法二.,P 的行向量是单位向量.,P 的行向量两两正交.,解.,方法一.,21,方法二.,例2.,证明: 方法一.,22,定义 若 P 为正交矩阵，则线性变换 x = Py 称为正交变换.,线性变换的系数构成矩阵,于是线性变换（）,就可以记为,x = Py,都为正交变换.,例,23,若 线性变换 x = Py 为正交变换，,a , b 为任意两个向量.那么,这是因为,特别的，,
