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1、1,3 克莱姆法则,一、克莱姆法则,二、齐次线性方程组有 非零解的充要条件,2,(14),定理二 （克莱姆法则） 设线性方程组,的系数行列式,一、克莱姆法则,(15),3,则线性方程组(14)有唯一解:,(16),其中,(第i行),(第j列),4,证明: 先验证(16)是(14)的解, 即验证:,D0,?,按第1列展开,按第2列展开,按第n列展开,因为,(17),5,由定理一及引理,再证(14)只有一个解.,6,将以上 n 个恒等式相加, 就有,7,根据定理一及其推论, 上式为,证毕.,8,用克莱姆法则解线性方程 组时, 必须具备两个条件:,注意,1. 未知数个数 = 方程个数;,2. 系数行
2、列式0.,9,齐次线性方程组:,(18),定理三. 若齐次线性方程组(18)有非零解,则(18)的系数行列式D=0.,证明: 反证.,若 D0, 由克莱姆法则知(18)只有零解.,矛盾!,证毕.,二、齐次线性方程组有非零解的充要条件,10,注: 由定理三可知, 方程组(18)的系数行列式 D=0是方程组(18)有非零解的必要条件. 在第四章将会看到, D=0也是齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件.,齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件是系数行列式 D=0.,说明:,(1). D0,(18)有唯一解,即零解.,(3). (18) 有非零解,(有无穷多组解).,综合上述, 得到:,(2). (18) 有零解:,11,例1. 解线性方程组,解:,12,又因为,13,14,例 用 Cramer 法则解线性方程组,解 因为,15,所以,16,例2.,解:,其系数行列式,17,所以有唯一解.,又因为,18,故所求多项式为,例3. 设齐次线性方程组,19,解:,因为所给齐次线性方程组,有非零解,所以其系数行列式,20,下述齐次方程组有非零解？,解 此齐次线性方程组有非零解的充要条件为其系数行列式为 0 .而,21,思考题,计算n阶行列式,其中,22,计算,23,下面用数学归纳法证明上式成立 假设n=k-1等式成立，即,则当n=k时，将行列式按第k列展开,得,综上,等式成立.,24,
