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1、第四节 函数的微分及其应用,一、微分概念,二、微分的几何意义,第三模块 函数的微分学,三、微分的基本公式及其运算法则,四、微分在近似计算中的应用,五、多元函数的全微分,一、微分概念,先来看一个例子，边长为 x 的正方形，,其面积增加多少？,面积的增加部分记作 S，,则,S = (x + x )2 - x2,= 2xx + (x) 2，,当 x 很小时，例如 x = 1， x = 0.01 ，则 2xx = 0.02，,设正方形的面积为 S，,当边长增加 x 时，,而另一部分 x2 = 0.000 1，,当 x 越小时，,x2 部分就比 2xx小的更多.,因此，如果要取 S 的近似值时，,显然
2、2xx 是 S 的一个很好的近似，,2xx 就称为 S = x2 的微分.,定义 设函数 y = f (x) 在点 x 的一个邻域内有定义，,y = Ax + ，,其中 A 与 x 无关， 是 x 的高阶无穷小量，,则称 Ax 为函数 y = f (x) 在 x 处的微分，记作 dy，即,dy = Ax .,这时也称函数 y = f (x) 在点 x 处可微.,如果函数 f (x) 在点 x 处的增量 y = f (x + x ) - f (x) 可以表示为,例 1 设 y = x3，求 x = 1 处的微分.,解,y = (1 + x)3 13 = 3x + 3(x)2 + (x)3.,上式
3、可以看成两部分组成，,它是 x 的高阶无穷小量，,所以函数 y = x3 在点 x = 1 处的微分是,dy = 3x .,为了方便起见，把自变量的增量 x 写成 dx ，即,x = dx.,从而,dy = Adx .,第一部分具有 Ax 形式的是 3x，,第二部分 是 3(x)2 + (x)3 ，,这是因为,则函数 y = f (x) 在点 x 处可导，,反之，如果函数 y = f (x) 在点 x 处可导，,证 因为 f (x) 在点 x 处可微，,即 f (x) 在点 x 处可导，且 A = f (x).,y = Ax + .,且 A = f (x).,所以有,定理 1 设函数 y =
4、f (x) 在点 x 可微，,则 f (x) 在点 x 可微.,从而有,(这是根据极限与无穷小的关系得出的).,得,y = f (x)x + x .,所以，函数 f (x) 可微.,且,dy = f (x)x 或,dy = f (x)dx . ,反之，因 f (x) 在 x 处可导，,即,上述定理可叙述为：,函数 f (x) 在 x 处可微的充要条件是函数 f (x) 在 x 处可导., 式也可以写为,解 因为,所以,例 2 求函数 y = 2ln x在x 处的微分，并求当 x = 1 时的微分(记作dy | x = 1).,N,T,M,P,二、微分的几何意义,如图所示，,就是曲线 y = f
5、 (x) 在点 P 处切线的纵坐标在相应处 x 的增量，,而 y 就是曲线 y = f (x) 的纵坐标在点 x 处的增量 .,x,x + x,PN = dx，,NM = y，,所以 dy = NT，,NT = PNtan,= f (x)dx，,即函数 y = f (x) 的微分 dy,1.基本初等函数的微分公式,dc =,三、微分的基本公式及其运算法则,0.,dx =,x-1dx.,dex =,exdx.,dax =,axlnadx.,dsin x =,cos xdx.,dcos x =,- sin xdx.,dtan x =,sec2 xdx.,dcot x =,- csc2 xdx.,d
6、sec x =,sec xtan xdx.,dcsc x =,- csc xcot xdx.,2.微分的四则运算,定理 2 设函数 u、v 可微，,则,d(u v) = du dv.,d(uv) = udv + vdu.,证 上述三个公式证法均类似，,其余由读者作为练习自证之.,d(uv) = (uv) dx = (uv + vu )dx,= uv dx + vudx .,因为 vdx = dv， u dx = du .,所以有,d(uv) = udv + vdu .,推论 1 当 v 为常数 c 时，则 d(cu) = cdu.,推论 2 当 v = 1 时，,我们只证第二个，,则,例 3
7、设 y = 3ex tanx，,求 dy .,解,dy = d(3ex) dtan x,= 3dex sec2 xdx,= 3exdx sec2 xdx = (3ex sec2x ) dx .,例 4 设 y = excos x，求 dy .,解,dy = d(excos x),= ex dcos x + cos xdex,= ex (cos x - sin x)dx .,解,3.复合函数的微分,定理 3 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可微，,dy = f (u) (x) dx .,则 y = f ( (x) 也可微，,且,由于du = (x) dx，,所以上式可写为,dy
8、= f (u) du .,从上式的形式看，,它与 y = f (x) 的微分 dy = f (x)dx 形式一样，这叫一阶微分形式不变性.,其意义是：不管 u 是自变量还是中间变量，函数 y = f (u) 的微分形式总是 dy = f (u)du .,例 6 设 y = sin(2x)，求微分 dy .,解 利用微分形式不变，,有,dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .,例 7 设 y = e-3x cos 2x，求 dy .,解,dy = d(e-3x cos 2x),= e-3x dcos 2x + cos 2xde-3x,= -e-3x sin 2xd(2x)
9、+ e-3x cos 2x d(-3x ),= -e-3x (2sin 2x + 3cos 2x)dx ，,由此也可知,y = -e-3x (2sin 2x + 3cos 2x) .,四、微分在近似计算中的应用,当 | x | 很小时(记作 | x | 1)，,y dy .,即,f (x0 + x) - f (x0) f (x0) x，,或,f (x) f (x0) + f (x0)(x - x0).,有,解 球的体积公式是,当 r 由 4 m 增加到 4 + 0.1 m ，,v 的增加为 v 时，,v dv .,而 dv = v dr = 4r2 dr，,即,v 4r2 dr .,此处 dr
10、 = 0.1，r = 4 . 代入上式得体积近似增加了,v 4 3.14 42 0.1 20 (m3) .,例 8 一个充好气的气球，半径为 4 m.,升空后，因外部气压降低气球半径增大了10 cm，,问气球的体积近似增加多少？,例 9 计算 cos 3012 的近似值.,解 选函数 f (x) = cos x，,f (x) = - sin x，,f (x0) = cos 30 ，,代入公式,f (x) f (x0) + f (x0)(x - x0) ，,得,例 11 试证当 | h | 1 时，,eh 1 + h .,证 选函数 f (x) = ex，x0 = 0，,则 x = h.,f (
11、0) = 1，,f (0) = 1，,代入公式,f (x) f (x0) + f (x0) (x - x0) ，,有,eh 1 + 1 (h - 0) = 1 + h .,f (x) = ex，, 是 的高阶无穷小，,即,其中 A，B 与 x，y 无关，,即,则称,为函数 z = f(x , y) 在点 (x0 , y0) 处的全微分，,记为dz ，,五、多元函数的全微分,即,这时，,也称函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处可微.,如果函数 z = f (x , y)在区域 D 内每一点都可微，,则称函数 z = f (x , y)在区域 D 内可微.,定理 1,如果函数
12、z = f (x , y )在点(x0 , y0 )处可微，,则函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处连续.,证,由函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处可微，,可得,其中,因为,所以,即函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处连续.,如果函数 z = f (x , y) 在点(x0 , y0)处可微，,则函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处的偏导数 存在，,而且,定理 2 (可微的必要条件),证,因为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处可微，,所以其全增量可表示为：,其中 A，B 与 x，
13、y 无关，,上式对任意的 x，y 都成立，,则当 y = 0 时也成立，,这时全增量转化为偏增量,而,两端同除以 x 得,因而,即,同理可证,由此可知，当 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处可微时，,必有,像一元函数一样，,规定,则,如果函数z = f (x, y)在点(x0 , y0)的某一邻域内偏导数,连续，,定理 3 (可微的充分条件),则函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )处可微.,二元函数全微分的概念可以类似地推广到二元以上的函数，,如果三个偏导数 连续，,例如三元函数 u = f (x , y , z)，,则它可微且全微分为,例 1,求函数 在点 (2 , 1) 处当,时的全增量与全微分.,解,全增量,因为,所以全微分,例 2,求函数 的全微分,解,因为,所以,例 3,求函数 的全微分.,解,因为,所以,
