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1、第四章 数据的概括性度量,一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家说道：“你们不是说若且，则吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男孩你也会喜欢喽！？” 数学家想了一下反问道：“那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧！因为它们平均的温度不过是五十度而已！”,统计学家与数学家,如果你的腳已經踩在爐子上，而頭卻在冰箱裡，統計學家會告訴你，平均而言，你相當舒服。,调侃统计学家,4.1 集中趋势的测定,一、集中趋势的涵义 二、平均指标的种类及计算方法,83名女生的身高,分布的集中趋势、中心数值,4.1 集中趋势的测定,一、集中趋势的涵义 二、平均指标
2、的种类及计算方法,二、平均指标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,基本形式：,例：,直接承担者, 注意区分算术平均数与强度相对数,算术平均数,式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 为第 个单位的标志值。,算术平均数的计算方法,平均每人日销售额为：,算术平均数的计算方法,式中： 为算术平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。,算术平均数的计算方法,【例】某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,算术平均数的计算方法,解：,算术平均数的计算方法,分析：,起到权衡轻重的作用,算术平均数的计算方法,决定平均数的
3、变动范围,算术平均数的计算方法,权数是以某种数量形式对比、权衡被评价事物总体中诸因素相对重要程度的量值。,权数与加权,权数与加权,权数与加权,权数与加权,算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置,变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：,算术平均数的主要数学性质,离差的概念,-1,-1,-2,1,3,思考题,比特啤酒公司雇用了468名员工，其中有56名管理人员，130名行政和技术人员，其余282人是工人。这三组人的周平均工资分别是500英镑、300英镑和200英镑。财务主管希望计算全体员工的平均
4、工资。,？,正确的计算方法,二、平均指标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：,再求算术平均数：,求各标志值的倒数 ： ， ， ，,再求倒数：,是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数,调和平均数harmean（harmonic mean）,A. 简单调和平均数,适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况,式中： 为调和平均数; 为变量值 的个数； 为第 个变量值。,调和平均数的计算方法,B. 加权调和平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况,式中： 为第 组的变量
5、值； 为第 组的标志总量。,调和平均数的计算方法,当已知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。,因为：,调和平均数的应用,调和平均数的用途：作为独立意义上的平均数使用基本上没有用途。作为算术平均数的变形使用是其常见的用法。但此时已经不能称为调和平均数，只能称其为调和平均方法。,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,调和平均数的应用,即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。,调和平均数的应用,求解比值的平均数的方法,由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比,设比值,则有：,求解比值的平均数的方法,【例A】
6、某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,应采用加权算术平均数公式计算,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,应采用平均数的基本公式计算,二、平均指
7、标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,式中： 为几何平均数; 为变量值的个数； 为第 个变量值。,几何平均数的计算方法,【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、90、85、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。,分析：,设最初投产100A个单位 ，则第一道工序的合格品为100A0.95；第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92； 第五道工序的合格品为（100A0.950.920.900.85）0.80；,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900
8、.850.80；则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,思考,若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。,几何平均数的计算方法,因各车间彼此独立作业
9、，所以有 第一车间的合格品为：1000.95； 第二车间的合格品为：1000.92； 第五车间的合格品为：1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=1000.95+1000.80,几何平均数的计算方法,分析：,不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为,应采用加权算术平均数公式计算，即,式中： 为几何平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标志值或组中值。,几何平均数的计算方法,【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。,设本金为V，则至各年末的本利和应为：
10、,第1年末的本利和为：,第2年末的本利和为：, ,第12年末的本利和为：,分析：,则该笔本金12年总的本利率为：,即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。,解：,几何平均数的计算方法,分析,第1年末的应得利息为：,第2年末的应得利息为：,第12年末的应得利息为：, ,则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.034+0.052+0.151）,这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为,假定本金为V,所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：,解：,（比较：按复利计息时的平均年
11、利率为6.85）,就同一资料计算时，有：,设 x 取值为：、10,是否为比率或速度,各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度,是否为其他比值,算术平均法,求解比值的平均数的方法,数值平均数计算公式的选用顺序,指标,二、平均指标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。,中位数的作用：,二、平均指标的种类及计算方法,如果统计资料中含有异常的或极端的数据，就有可能得到非典型的甚至可能产生误导的平均数，这时使用中位数来度量集中趋势比较合适。,比如有5笔付款： 9元，10元，10元，11元，60元 平均付款为
12、100/5=20元。 很明显，这并不是一个好的代表值，而中位数10元是一个更好的代表值。,中位数的位次为：,即第3个单位的标志值就是中位数,中位数的确定,（未分组资料）,中位数的位次为：,中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即,中位数的确定,（未分组资料）,【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：,计算该企业该日全部工人日产量的中位数。,中位数的位次：,中位数的确定,（单值数列）,中位数的确定,（组距数列）,【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的中位数。,中位数的确定,（组距数列）,共 个单位,共 个单位,共 个单位,共 个单位,L,U,中位数组,组距为d
13、,共 个单位,假定该组内的单位呈均匀分布,中位数下限公式为,二、平均指标的种类及计算方法, 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数,二、平均指标的种类及计算方法,有时众数是一个合适的代表值,比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。,【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:,众数的确定,（单值数列）,计算该企业该日全部工人日产量的众数。,众数的确定,（组距数列）,【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：,计算该车间工人月产量的众数。,众数的原理及应用,83名女生身高原始数据,83名女生身高组距数列,当数据分布存在
14、明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。,众数的原理及应用,没有突出地集中在某个年份,出现了两个明显的分布中心,形状 Shape,表明数据是如何分布的偏态Skew 与 对称Symmetry左偏: 均值中位数对称(零偏度) ：均值 = 中位数,右偏的,左偏的,对称的,均值,=,中位数,=,众数,均值,中位数,众数,众数,中位数,均值,位置测度的一种常用方法： 百分位数(Percentile),概念：第p个百分位数是这样的数值：至少有p%个数值跟它一样大或比它小；至少有(100p)%个数值跟它一样大或比它大。,例如，一个考生入学考试的口语成绩是54分，对应第70个百分位数，我们就可以知道大约有70%的考生成绩比他低，或者说大约有30%的考生成绩比他高。,位置测度的另一种常用方法： 四分位数 (Quartile),通常将数据分成四个部分是合乎需要的，每一部分大约包括1/4或25%的数据，分位点称为四分位数。,位置测度的另一种常用方法： 四分位数 (Quartile),25%,
