第三章,生命表函数与生命表构造,本章重点,生存分布模型 随机变量—死亡年龄X，剩余寿命T（x） 密度函数与分布函数 精算函数 生存分布的统计 有关寿命分布的参数模型（*拟合，参数估计，假设检验） 生命表的起源 生命表的构造（*生命表函数的估计） *选择与终极生命表 *有关分数年龄的三种假定,本章中英文单词对照,死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表,Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables,第一节,生命函数 （生存分布模型）,3.1.1随机变量以及分布,3.1.1 X死亡年龄，T（x）剩余寿命X表示初生婴儿未来寿命的随机变量； T（x）表示x岁人的剩余寿命3.1.2生存函数,定义意义：新生儿能活到 岁的概率 与分布函数的关系： 与密度函数的关系： 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：,3.1.3剩余寿命的死亡函数,定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 ：,剩余寿命的生存函数,剩余寿命的生存函数 ：特别：,剩余寿命的精算函数,：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率,3.1.4整值剩余寿命,定义： 未来存活的完整年数，简记概率函数,3.1.5死亡效力,定义： 的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系,,精算函数与概率函数的关系,死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数,,剩余寿命的期望与方差,期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差,整值剩余寿命的期望与方差,期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差,第二节,生命表 （生存分布的统计）,1.1.6有关寿命分布的参数模型,De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825),有关寿命分布的参数模型,Makeham模型(1860)Weibull模型(1939),生存分布的拟合，估计与检验,分布的拟合：概率图方法能提供估计某个理论是非对现有的数据作出恰当拟合直观方法 参数估计：矩估计，极大似然估计，最小二乘估计。
假设检验：卡方检验方法参数模型的问题,至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型这四个常用模型的拟合效果不令人满意 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布生命表起源,生命表的定义 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表. 生命表的发展历史 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》这是生命表的最早起源 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布人们因而把Halley称为生命表的创始人 生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）,生命表的构造,原理 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率用频数估计频率） 常用符号 新生生命组个体数： 年龄： 极限年龄：,3.2.2生命表的内容,个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数： 特别：n=1时，记作,,生命表的内容,个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：,,,生命表函数与精算函数,,,生命表实例（美国全体人口生命表）,例：,已知 计算下面各值： （1） （2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
（3）该人群平均寿命例答案,*选择-终极生命表,选择-终极生命表构造的原因 需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员 需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失 选择-终极生命表的使用,选择-终极表实例,*生命表的估计,完整数据样本下的生命表函数的估计； 不完整数据样本下的生命表函数的估计； 生命表函数的估计的计算机实现；,第三节 补充,有关分数年龄的假设,有关分数年龄的假设,使用背景: 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况 基本原理:插值法 常用方法 均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值),三种假定,均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值),三种假定下的生命表函数,,例：,已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：,,例答案,例答案,例答案,。