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1、8.5定积分的应用,平面区域的面积 平面曲线的弧长 应用截面积求体积 旋转体的侧面积,一,微元法 元素法,一、微元法,利用定积分计算实际问题，首先根据实际问题的实际意义做出积分和，然后再取极限，从而就将实际问题抽象为定积分.但是，将作积分和与取极限两步分开的做法比较麻烦。在实际应用中是将作积分和与取极限两步合并为一步，即“微元法”，简便易行.,定积分是分布在区间上的整体量.因为整体是由局部组成的，所以将实际问题抽象为定积分，必须从整体着眼，从局部入手 .这里所说的局部不是区间分法的小区间，而是小区间在极限( )过程中缩小为一“点”了.但是，我们看待这个“点”仍具有小区间的意义.例如，他们的“长
2、”是dx.,具体作法是：,首先将区间上的整体量化成区间上每一点的微分，亦称微元，这是“化整为零”； 然后，对区间上每一点上的微元无限累加-“连续作和”，这是“积零为整”就得到了欲求的定积分.,待求的定积分,局部微分,得到的定积分,化整为零,积零为整,即: 待求的定积分,局部微分,得到的定积分,具体过程是：,下面以曲边梯形的面积为例， 说明怎样用微元法将实际问题化成定积分,曲边梯形的面积,按定义，将面积转化为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,首先求曲边梯形面积的面积微元,在,上任取一点,在点,上的面积微元,就是高为,“宽”为微分,的矩形面积，即,其次将每一点
3、x的面积,微元,连续累加,到,从,到,就得到所求的曲边梯形的面积,定积分,起来，即得,从上例可以看出，欲将实际问题抽象为定积分， 首先，求微元.要求出欲求量的微元.例如，求曲边梯形面积就要求出面积微元. 其次，求积分. 再将每一点上的微元连续累加起来，就得到了定积分.,微元法,微元法是分析、解决实际问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的过程，用我们熟悉的规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。,“微元”字面上理解：微小的、细微的元素.,微元法，一句话“简单方法解决复杂问题的方法”. 具体说是“用最简单、最原始的公式写出微元，从而积分解决一个较复杂的物质量的计算问
4、题”的方法. 也就是说谓的“常代变”、“直代曲”、“匀代不匀”的局部线性化思想.,“微元”字面上理解：微小的、细微的元素， 它具备以下三点特性：,1.与原物质属性相同,2.比原物质要微小,3.比原物质单纯、计算方法简单，,回顾,曲边梯形求面积的问题,定积分的微元法,按定义，将面积转化为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,分析：,在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足：,1。与区间a, b及a, b上连续函数f(x)有关;,2。对a, b具有可加性，,3。,step1: 选取积分变量及积分 区间（如x属于a, b）,step2: 取微分区间x, x+dx
5、求出,step3:,这种方法称为定积分的微元法。,（元素法）,实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：,微元法(元素法)的一般步骤：,这个方法通常叫做微元法(元素法),欲将实际问题抽象为定积分， 首先，要求出欲求量的微元. 其次，再将每一点上的微元连续累加起来，就得到了定积分.,1 求微元,写出典型小区间,上的局部量,的近似值,这就是局部量的微元,2 求积分,即把微元,在区间 a , b 上,作积分表达式，求它在 a , b 上的定积分，即,这就是微元法,“无限积累”起来 ，相当于把,化整为零,积零为整,具体做法是：,在采用微元法时,必须注意如下几点:,所求量(面积)
6、 A关于分布区间(a,b)必须是代数可加的.,2) 微元法的关键是正确给出 的近似表达式,在一般情况下,要严格检验A- f( x)x 是否为x 的高阶无穷小量往往不是一件容易的事.因此对上式的合理性需特别小心.,现在恰好要把问题倒过来， 就得到微元法,二、求面积,平面图形的面积1、直角坐标系 2、参数方程 3、极坐标,二、平 面区域( 图 形 )的 面 积,围成平面区域的曲线可以用不同的形式表示. 以下分三种情况： 1、直角坐标系情形 2、参数方程情形 3、极坐标系情形,1、当 f (x) 0，定积分,的几何意义就是曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b， y = 0 所 围
7、成的曲边梯形的面积,定积分的几何意义,2、当函数 f (x) 0 ， xa, b 时定积分,几何意义就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即,几何意义：,a,b,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,a,b,1、直角坐标系下平面图形的面积 ：,由定积分的几何意义，非负连续曲线,与直线：,轴所围成的曲边梯形的面积为：,x型区域,y型区域,如果平面区域既不是x型区域，也不是y型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x型,区域与y型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总 的面积等于各区域面积之和。如右下图：,上曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下曲线
8、由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于 y轴的直线，则把平面区域分成4个x型区域。,y,直角坐标系下的面积公式,图形复杂,分块简化,在平面直角坐标系下， 面积微元的计算公式是用最简单的小矩形面积.,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,2、由参数方程表示的曲线 所围成平面图形的面积,则由曲线C 及直线x = a, x = b 和x 轴所围的图形, 其面积计算公式为,P30,P278,例5,解,如果由参数方程 所表示的曲线是封闭的,即有,x = x( t), y = y( t), t ,x() = x(), y() = y(),且在(,)内曲线自身不再相交
9、,那么由曲线自身所围图形的面积为,如,例,则椭圆的面积为,下页,由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,解：设椭圆在第一象限的面积为S1，,3、极坐标下平面图形的面积,极坐标系下面积微元的计算公式最简单的小扇形面积.,例7 求双扭线 所围成的平面图形的面积,解,解:,利用对称性知,三、弧长,平面曲线的弧长1、参数方程2、直角坐标系 3、极坐标,三、平面曲线的弧长,主要介绍平面曲线弧长的计算公式,平面曲线弧长的概念我们已经学习过，利用刘徽割圆术定义了圆的周长，现将刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到平面曲线弧长的计算公
10、式。,定义1 可求长,思考题,思考题解答,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,定义2,则称平面曲线C是光滑曲线,这是曲线可求长的一个充分条件,而连续曲线不一定是可求长的.,注,1、参数方程下的弧长公式,定理1,上式称为弧长公式,注,由于被积函数是连续的，因此,微分三角,弧长微分公式,例9,例10,2、直角坐标方程曲线弧长公式,若曲线C 由直角坐标方程表示,把它看作以x为参数的参数方程时,即为,所以当 在 a, b上连续时,此曲线即为一光滑曲线.这时弧长公式为,例11,若曲线C 由极坐标方程表示,3、极坐标方程曲线弧长公式,将其化成以 为参数的参数方程时,即为,因此当 在 上连
11、续, 且 与 不同时为零时, 此极坐标曲线为一光滑曲线. 这时弧长公式为,例12,四、体积,应用截面面积求体积1、已知平行截面面积的求体积 2、旋转体的体积,四、由平行截面面积求体积,本节我们分两类特别情况,来讨论如何利用定积分求出几何体的体积问题.至于更一般的几何体的体积的求法,在后面重积分中讨论.,1、已知平行截面面积的几何体的体积,2、旋转体的体积,1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式,例13,证明,例14,解,2、旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,在参数方程,下，旋转体的体积为,在极坐标下，,所表示的区域绕极轴旋转一周所得的旋转体,的体积为,例14,解,例16,解,例17,祖暅(geng) 定理(等积原理),夹在两个平行平面间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等.,证明,五、侧面积,旋转体的侧面积 1、直角坐标系情形 2、参数方程 3、极坐标系情形,旋转曲面的面积,2、参数方程,3、极坐标系,例18:,解:,例19:,求椭圆,.,
