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1、第一章 量子力学基础知识,只有把光看成是由光子组成的光束，才能理解光电效应；而只有把光看成波，才能解释衍射和干涉现象。即，光表现出波粒二象性。 波动模型是连续的，光子模型是量子化的，波和粒表面上看是互不相容的，却通过Planck常数，将代表波性的概念和与代表粒性的概念和p联系在了一起，将光的波粒二象性统一起来：,=h，ph/,1.1 量子力学实验基础,1. 光的波粒二象性,2. 实物微粒的波粒二象性,de Broglie(德布罗意）假设： 1924年，de Broglie受光的波粒二象性启发，提出实物微粒（静止质量不为零的粒子，如电子、质子、原子、分子等）也有波粒二象性。认为=h，ph/ 也适
2、用于实物微粒，即，以pmv的动量运动的实物微粒，伴随有波长为 h/ph/mv 的波。此即de Broglie关系式。微观粒子运动速度快，自身尺度小，其波性不能忽略；宏观粒子运动速度慢，自身尺度大，其波性可以忽略。,实例：（1） 飞行子弹 m=10-2 kg, v=102 m/s,=h/p=h/(mV)=6.610-34 m,与子弹尺寸比波动性可忽略。,（2） 原子内电子：m=10-30 kg, v=106 m/s,=6.610-10 m,与原子大小相近，波动性不可忽略。,实物微粒波的物理意义Born的统计解释,Born认为，实物微粒波是几率波：在空间任一点上，波的强度和粒子出现的几率成正比。
3、用较强的电子流可在短时间内得到电子衍射照片；但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的电子衍射照片。电子衍射不是电子间相互作用的结果，而是电子本身运动所固有的规律性。 实物微粒的波性是和微粒行为的统计性联系在一起的，没有象机械波（介质质点的振动）那样直接的物理意义，实物微粒波的强度反映粒子出现几率的大小。 对实物微粒粒性的理解也要区别于服从Newton力学的粒子，实物微粒的运动没有可预测的轨迹。 一个粒子不能形成一个波，但从大量粒子的衍射图像可揭示出粒子运动的波性和这种波的统计性。 原子和分子中电子的运动可用波函数描述，而电子出现的几率密度可用电子云描述。,
4、入射光,一个电子对应屏上一个亮点 粒子性,电子单缝衍射逻辑实验,薄膜、狭缝,荧光屏,开始,时间,统计结果波动性,（Heisenberg测不准原理）,1927年海森堡提出：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量。也就是说： 对于微观粒子的坐标描述的越准确（即坐标不确定量越小），其动量描述的就越不准确，（即动量的不确定量越大）。反之，动量确定的越准确，坐标就越不确定。 测不准原理是由微观粒子本身特性决定的物理量间相互关系的原理。反映的是物质的波性，并非仪器精度不够。,xpxh/4,1.2 不确定关系,（Heisenberg测不准原理）,测不准原理：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量。 测不准原理是
5、由微观粒子本身特性决定的物理量间相互关系的原理。反映的是物质的波性，并非仪器精度不够。,测不准关系式的导出：OPAPOC/2 狭缝到底片的距离比狭缝的宽度大得多当CPAP时，PAC,PCA,ACO均接近90，sinOC/AO=/DD越小（坐标确定得越准确），越大，电子经狭缝后运动方向分散得越厉害（动量的不确定程度越大）。落到P点的电子，在狭缝处其pxpsin，即px px psinp/D=h/D，而xD 所以 xpxh，考虑二级以上衍射，,xpxh,测不准关系是经典力学和量子力学适用范围的判据 例如，0.01kg的子弹，v1000m/s，若v v1%，则， xh /（mv）6.61033m，完
6、全可忽略，宏观物体其动量和位置可同时确定；但对于相同速度和速度不确定程度的电子，xh /（mv）7.27105m，远远超过原子中电子离核的距离。,测不准关系是微观粒子波粒二象性的客观反映，是对微观粒子运动规律认识的深化。它限制了经典力学适用的范围。,微观粒子和宏观粒子的特征比较： 宏观物体同时有确定的坐标和动量，可用Newton力学描述；而微观粒子的坐标和动量不能同时确定，需用量子力学描述。 宏观物体有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒子具有几率分布的特征，不可能分辨出各个粒子的轨迹。 宏观物体可处于任意的能量状态，体系的能量可以为任意的、连续变化的数值；微观粒子只能
7、处于某些确定的能量状态，能量的改变量不能取任意的、连续的数值，只能是分立的，即量子化的。 测不准关系对宏观物体没有实际意义（h可视为0）；微观粒子遵循测不准关系，h不能看做零。所以可用测不准关系作为宏观物体与微观粒子的判别标准。,1.3 量子力学基本假设,量子力学：微观体系遵循的规律。主要特点是能量量子化和运动的波性。是自然界的基本规律之一。主要贡献者有：Schrdinger，Heisenberg，Born & Dirac 量子力学由以下5个假设组成，据此可推导出一些重要结论，用以解释和预测许多实验事实。半个多世纪的实践证明，这些基本假设是正确的。 1. 波函数和微观粒子的状态 假设：对于一个
8、微观体系，它的状态和有关情况可用波函数(x,y,z,t)表示。是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。 定态波函数：不含时间的波函数(x,y,z)。本课程只讨论定态波函数。 一般为复数形式： fig，f和g均为坐标的实函数。 的共轭复数*fig， *f2g2，因此*是实函数，且为正值。为书写方便，常用2代替*。 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，所以在该点附近找到粒子的几率正比于*，用波函数描述的波为几率波。,几率密度：单位体积内找到电子的几率，即*。,电子云：用点的疏密表示单位体积内找到电子的几率,与*是一回事。 几率：空间某点附近体积元d中电子出现的概率，即*d
9、。 用量子力学处理微观体系，就是要设法求出的具体形式。虽然不能把看成物理波，但是状态的一种数学表达，能给出关于体系状态和该状态各种物理量的取值及其变化的信息，对了解体系的各种性质极为重要。 波函数(x,y,z)在空间某点取值的正负反映微粒的波性；波函数的奇偶性涉及微粒从一个状态跃迁至另一个状态的几率性质（选率）。 波函数描述的是几率波，所以合格或品优波函数必须满足三个条件： 波函数必须是单值的，即在空间每一点只能有一个值； 波函数必须是连续的，即的值不能出现突跃；(x,y,z) 对x,y,z的一级微商也应是连续的； 波函数必须是平方可积的，即在整个空间的积分*d应为一有限数，通常要求波函数归一
10、化，即*d1。,2. 力学量和算符,假设：对一个微观体系的每个可观测的力学量，都对应着一个线性自轭算符。 算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。如：sin，log 线性算符：(12) 1 2 自轭算符：1*1 d1(1 )*d或1*2 d2(1 )*d 例如， id/dx，1expix，1*exp-ix，则， exp-ix(id/dx)expixdxexp-ix(-expix)dx-x. expix (id/dx)expix *dxexpix(-expix)*dx-x. 量子力学需用线性自轭算符，目的是使算符对应的本征值为实数。 力学量与算符的对应关系如下表：,3. 本征态、本征值
11、和Schrdinger方程,假设：若某一力学量A的算符作用于某一状态函数后，等于某一常数a乘以，即a，那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的数值a，a称为力学量算符的本征值，称为的本征态或本征函数，a称为的本征方程。 自轭算符的本征值一定为实数：a，两边取复共轭，得，*a*，由此二式可得：*()da* d，(*)da*d由自轭算符的定义式知， * d(*)d故，a* da*d，即 aa*，所以，a为实数。 一个保守体系（势能只与坐标有关）的总能量E在经典力学中用Hamilton函数H表示，即，,对应的Hamilton算符为：, Schrdinger方程能量算符的本征方程，是决定
12、体系能量算符的本征值（体系中某状态的能量E）和本征函数（ 定态波函数，本征态给出的几率密度不随时间而改变）的方程，是量子力学中一个基本方程。具体形式为：,对于一个微观体系，自轭算符给出的本征函数组1，2，3形成一个正交、归一的函数组。 归一性：粒子在整个空间出现的几率为1。即 i*id1 正交性：i*jd0。由组内各函数的对称性决定，例如，同一原子的各原子轨道（描述原子内电子运动规律的波函数）间不能形成有效重叠（H原子的1s和2px轨道，一半为，另一半为重叠）。 正交性可证明如下：设有 iaii； jajj；而aiaj，当前式取复共轭时，得：(i)*ai*i*aii*，（实数要求aiai*）由
13、于i*jdaji*jd，而 (i)*jdaii*jd上两式左边满足自轭算符定义，故，(aiaj)i*jd0，而aiaj故 i*jd0,4. 态叠加原理,假设：若1，2 n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的也是该体系可能的状态。, 组合系数ci的大小反映i贡献的多少。为适应原子周围势场的变化，原子轨道通过线性组合，所得的杂化轨道（sp，sp2，sp3等）也是该原子中电子可能存在的状态。,非本征态的力学量的平均值 若状态函数不是力学量A的算符的本征态,当体系处于这个状态时,a,但这时可用积分计算力学量的平均值： a*d 例如，氢原子基态波函数为1s，其半径和势能等均无确定值，但可由上式
14、求平均半径和平均势能。, 本征态的力学量的平均值设与1，2 n对应的本征值分别为a1，a2，an，当体系处于状态并且已归一化时，可由下式计算力学量的平均值a（对应于力学量A的实验测定值）：,5. Pauli原理,假设：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。或者说，两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。 Pauli原理的另一种表述：描述多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数，交换任两个电子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标），必然得出反对称的波函数。 电子具有不依赖轨道运动的自旋运动,具有固有的角动量和相应的磁矩,光谱的Zeeman效应(光谱线在磁场中发生分裂)、精细结构都是证
15、据。 微观粒子具有波性，相同微粒是不可分辨的。(q1,q2)= (q2,q1) 费米子：自旋量子数为半整数的粒子。如，电子、质子、中子等。(q1,q2,qn)(q2,q1,qn)倘若q1q2，即 (q1,q1,q3,qn)(q1,q1,q3,qn) 则，(q1,q1,q3,qn)0，处在三维空间同一坐标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的几率为零。据此可引伸出以下两个常用规则： Pauli不相容原理：多电子体系中，两自旋相同的电子不能占据同一轨道，即，同一原子中，两电子的量子数不能完全相同； Pauli排斥原理：多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、远离。 玻色子：自旋量子数为整数的粒子。如，光子、介子、氘、粒子等。(q1,q2,qn)(q2,q1,qn),
