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1、自动控制理论,讲授人：范 娟,第3章 线性系统的时域分析,3.1 系统时间响应的性能指标,引言,3.2 一阶系统的时域分析,3.3 二阶系统的时域分析,3.4 高阶系统的时域分析,3.5 线性系统的稳定性分析,3.6 线性系统的稳态误差计算,习题课,引言,经典控制理论中常用的分析法时域分析法根轨迹法（第四章）频率特性法（第五章）,研究控制系统在典型输入信号作用下输出信号随时间的变化。,控制系统包括动态过程和稳态过程。动态过程指从初 始状态到最终状态的响应过程；稳态过程指时间t趋于 无穷时的输出状态。,3.1系统时间响应的性能指标,要求: 掌握时间响应的基本概念正确理解时域性能响应指标重点: 时
2、域性能响应指标：td，tr , tp，ts, %,自动控制系统的时域指标,一、典型输入信号,1. 单位阶跃函数：,2. 单位斜坡函数：,3. 单位加速度函数：,4. 单位脉冲函数：,5. 正弦函数：,分析系统特性采用何种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，选择斜坡函数为典型输入信号。,自动控制系统的时域指标,二、时域性能指标,控制系统的性能指标通常以系统对单位阶跃输入量的瞬态响应形式给出。稳定的单位阶跃响应具有典型衰减振荡和单调变化两种类型。,（a）典型阶跃响应曲线,延迟时间td：
3、第一次到达 所需的时间,上升时间tr：输出响应第一次上升到稳态值所需的时间,峰值时间tp：超过 第一次到达最大值所需的时间,调节时间ts：指当 和 之间误差达到规定允许范围 ，一般是超过 ，并且以后不再超出此 范围所需的最小时间。,最大超调量%：系统响应的最大值超过稳态值的百分比,自动控制系统的时域指标,（b）单调变化的阶跃响应曲线,td，tr , tp 表征初始阶段的快速性；ts 表征过渡过程的持续时间，从总体上反映了系统的快速性；反映了系统动态过程的平稳性,自动控制系统的时域指标,3.2 一阶系统的时域分析,要求: 1.掌握一阶系统数学模型和单位阶跃响应2.了解一阶系统单位斜坡响应和单位脉
4、冲响应 重点: 一阶系统的单位阶跃响应,一阶系统的时域分析,一阶系统的数学模型,一阶系统的微分方程为：,其闭环传递函数为：,为时间常数，是表征系统惯性的一个主要参数,一阶系统的单位阶跃响应,一阶系统的单位阶跃响应没有超调量，所以其性能指标主要是调节时间ts 。 ts=3T(s) 5%误差带 ts=4T(s) 2%误差带 td=0.69T(s) tr=2.20T(s),一阶系统的时域分析,一阶系统的单位脉冲响应,一阶系统的单位脉冲响应为一单调下降的指数曲线。若定义该指数曲线衰减到其初始的5%所需的时间为脉冲响应的调节时间，则 ts=3T(s)5%误差带,一阶系统的时域分析,一阶系统的单位斜坡响应
5、,一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数，因此在位置上存在稳态跟踪误差，其值正好等于时间常数T；瞬态分量为衰减非周期函数。,一阶系统的时域分析,（a）一阶系统的单位阶跃响应,（b）一阶系统的单位斜坡响应,在阶跃响应曲线中，输出量和输入量之间的位置误差随时间而减小，最后趋于零；在斜坡响应曲线中，输出量和输入量之间的位置误差随时间而增大，最后趋于常值T，惯性越小，跟踪的准确度越高。,一阶系统的时域分析,例3.1 一阶系统的结构图如图所示。求该系统单位阶跃响应的调节时间ts。如果要求ts0.1（秒），试问系统的反馈系数应如何取？,解：由图可知,得时间常数
6、T=0.1（s），则有：,(取5%误差带),一阶系统的时域分析,假设反馈系数为Kt，则可得闭环传递函数为：,由闭环传函得：T=0.01/Kt，根据题意要求ts0.1(s)，则,一阶系统的时域分析,3.3 二阶系统的时域分析,要求: 掌握二阶系统的数学模型及阶跃响应，取不同值时的特征根在S平面上的位置及响应曲线，并能以图表示之 重点: 典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的时域分析,一、二阶系统的数学模型,二阶系统的典型结构图如图所示,传递函数标准形式为：,自然频率或无阻尼振荡频率,阻尼比或阻尼系数,系统的特征方程为：,系统的特征根为：,二、二阶系统的单位阶跃响应,假设初始条件为零，r(t
7、)=1（t），则,由于特征方程的根与阻尼比有关，若1,二阶系统的特征根为：,二阶系统的时域分析,1、无阻尼（0）的情况,系统有一对共轭纯虚数根 ,它们在s平面上的位置如图所示。,系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为,二阶系统的时域分析,系统有一对具有负实部的共轭复根，对应于在S平面的左半部的共轭复数极点，,称为阻尼振荡频率,2、欠阻尼（01）的情况,系统具有两个不相等的负实数极点,稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。,二阶系统的时域分析,二阶系统单位阶跃响应曲线,临界阻尼响应比过阻尼响应具有更短的上升时间，响应速度更快；在欠阻尼中，阻尼比越小，超调量越大，上升
8、时间越短，通常取0.40.8为宜，此时超调量适度，调节时间较短；若二阶系统具有相同的和不同的 ，则其振荡特性相同但响应速度不同， 越大，响应速度越快。,二阶系统的时域分析,由于=0时，系统不能正常工作，在1时，系统暂态响应 进行得又太慢。因此，对于二阶系统来说， 01是最有实际 意义。下面讨论这种情况下的暂态特性指标。,三、欠阻尼二阶系统动态性能指标,二阶系统的时域分析,1、上升时间tr,响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。,则有，,总结：当 一定时，阻尼比越大，上升时间 越长；当一定时， 越大， 则越短。,二阶系统的时域分析,2、峰值时间tp,响应曲线从零开始上升
9、，到达第一个峰值所需的时间，称为峰值时间。,则有，,总结： 与阻尼振荡频率 成反比，当一定时， 越大，则 越短。,二阶系统的时域分析,3、最大超调量%,最大超调量发生在第一个周期中t=tp时刻，则有,则有，,总结：%仅是阻尼比的函数，而与 无关。阻尼比越大，超调量越小。,二阶系统的时域分析,4、调节时间ts,调节时间是响应曲线与稳态值之间的偏差达到允许范围（一般取5%2%）而不再超出的暂态过程时间。,为简单起见，忽略正弦函数的影响，则有，,二阶系统的时域分析,总结：调节时间近似与 成反比关系。在设计系统时，通常由要求的最大超调量决定，调节时间则由自然振荡角频率决定。也就是说，在不改变超调量的条
10、件下，通过改变 的值可以改变调节时间。,阻尼比是二阶系统的一个重要参量，由值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。一般情况下，系统在欠阻尼情况下工作。但是过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，暂态品质差。调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率这两个特征参数的乘积成反比。为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般应在0.40.8之间，这时阶跃响应的超调量在1.525之间。阻尼比为0.707称为最佳阻尼比.,二阶系统的时域分析,小结阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大，稳态误差增加 阻尼比大：上升时间长 希 望：上升时间短、调整时间短、超调量小，工程上阻尼比一般取0.40.8。阻尼比
11、为0.707称为最佳阻尼比.,二阶系统的时域分析,例3.2 有一位置随动系统的结构图如图所示，其中K4。求该系统的：自然振荡角频率；阻尼比；超调量和调节时间；如果要求0.707，应怎样改变系统参数K值。,解：由图可知,由此得,随动系统结构图,自然振荡角频率,阻尼比,二阶系统的时域分析,超调量,当要求0.707时，,调节时间,二阶系统的时域分析,例3.3 由实验测得二阶系统的单位阶跃响应c(t)如下图所示，试根据已知的单位阶跃响应c(t)，计算系统参数及 的值。,二阶系统的时域分析,解：由已知条件得：,解之得：,二阶系统的时域分析,例3.4 已知单位反馈系统的传递函数为设系统的输入量为单位阶跃函
12、数,试计算放大器增益 KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。当KA增大 到1500时或减小到KA =13.5,这时系统的动态性能指 标如何?,二阶系统的时域分析,解:系统的闭环传递函数为:,则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公 式,可以求得:,二阶系统的时域分析,二阶系统的时域分析,由此可见,KA越大, 越小,n越大, tr、tp越 小,%越大而调节时间ts无多大变化。系统工作在过阻尼状态,峰值时间和超调量不存在,而 调节时间可将二阶系统近似为大时间常数T的一阶系统 来估计,即:,二阶系统的时域分析,调节时间比前两种KA大得多,虽然响应无超调,但过渡过程缓慢,曲线如下：,KA增大，t
13、p减小，tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。,二阶系统的时域分析,在改善二阶系统性能的方法中，比例-微分控制和测速反馈 控制是两种常用的方法。,四、二阶系统性能的改善,比例-微分控制的二阶系统,系统阻尼比,闭环零点,1、比例-微分控制,这种控制方法称为PD控制，不改变系统的自然频率，可 增大系统的阻尼比。选择适当的开环增益和微分器时间常数， 既可减小系统在斜坡输入时的稳态误差，又可使系统在阶跃 输入时有满意的动态性能。,二阶系统的时域分
14、析,比例-微分控制二阶系统是有零点的二阶系统，其动态性能 指标估算公式不能套用针对无零点二阶系统得到的有关结果。,式中,二阶系统的时域分析,总结 比例-微分控制的特点如下：,对系统的开环增益和自然频率没有影响可加快上升时间，增大系统阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短在保证一定的动态性能条件下，可以减小稳态误差对系统噪声，特别是高频噪声，有明显放大作用，因此在系统输入端噪声较强的情况下，不宜采用比例-微分控制方式。,二阶系统的时域分析,2、测速反馈控制,测速反馈控制的二阶系统,测速反馈会降低系统的 开环增益，加大系统在 斜坡输入时的稳态误差； 不影响系统的自然频率， 增大系统的阻尼比,二
15、阶系统的时域分析,零点对欠阻尼二阶系统的影响,增加零点使峰值时间下降，振荡性增强，平稳性变差 零点越接近虚轴，这种作用越显著,闭环零点的作用为减小峰值时间，使系统响应速度加快，振荡性增强，且零点越靠近虚轴，这种作用越显著。,二阶系统的时域分析,附加极点对系统的影响,增加极点是削弱了阻 尼还是增加了阻尼？,二阶系统的时域分析,3.4高阶系统的时域分析,要求:了解高阶系统闭环主导极点概念和主导极点分析法,设高阶系统的闭环传递函数为,假设系统所有零点、极点互不相同，且极点中q个实数极点和r对复数极点，零点中只有实数零点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为,式中,高阶系统的时域分析,将上式展开成部分分式，得,对上式进行拉氏反变换，求得系统在零初始条件下的单位阶跃响应为,高阶系统的时域分析,主导极点是指如果高阶系统有一个极点（或一对共轭复数极点）离虚轴最近，其实部小于其它极点的实部的1/5，并且附近又无零点存在，则可近似的认为系统的瞬态特性由这个（或这对）极点来确定。这个（或这对）对瞬态响应起主导作用的闭环极点，称为高阶系统的主导极点。偶极子是指高阶系统的某闭环极点与一个零点在同一位置或相距很近，且远离原点及其它极点，则该极点对系统的影响很小。这一对作用相互抵消的零极点称为偶极子。,
