《苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何3.2.1-3.2.2含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何3.2.1-3.2.2含答案(14页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 1 3.2 空间向量的应用空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定空间线面关系的判定(一一)平行关系平行关系 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意 义;会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与 平面的平行问题 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 答案 (1)点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位置就可以
2、用向量来表示我们把向量称为点 P 的位置向量 OP OP (2)直线:直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量 对于直线 l 上的任一点 P,在直线上取a,则存在实数 t,使得t. AB AP AB (3)平面:空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定对于平面 上的任一点 P,a,b 是平面 内两个不共线向量,则存在有序实数对(x,y),使得xayb. OP 空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示 梳理 (1)用向量表示直线的位置: 直线 l 上一点 A 条件 表示直线 l 方向的向量 a(即直线的方向向量) 形式 在直线 l 上取a,那么对于直线 l 上任意一点
3、 P,一定存在实数 t,使 AB 得t AP AB 定位置点 A 和向量 a 可以确定直线的位置 作用 定点可以具体表示出 l 上的任意一点 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 2 (2)用向量表示平面的位置: 通过平面 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定: 条件平面 内两条相交直线的方向向量 a,b 和交点 O 形式 对于平面 上任意一点 P,存在有序实数对(x,y)使得xayb OP 通过平面 上的一个定点 A 和法向量来确定: 平面的法向量直线 l,直线 l 的方向向量叫做平面 的法向量 确定平面位置过点 A,以向量 a 为法向量的平面是完全确定的 (3)直线的方向向
4、量和平面的法向量: 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量 a,叫做直线 l 的一个方向向量 平面的法向量 直线 l,取直线 l 的方向向量 n,n 叫 做平面 的法向量 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设 v1(a1,b1,c1),v2(a2,b2,c2)分别是直线 l1,l2的方向向量若直线 l1l2,则向量 v1,v2应满足什么关系 (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可说明直线 与平面平行? (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么? 答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线 l1l2,则直线 l1,l2的方向向量共线,即 l
5、1l2v1v2v1v2(R) (2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否平行 (3)关键是找到两个平面的法向量,利用法向量平行来说明两平面平行 梳理 (1)空间中平行关系的向量表示: 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 , 的法向量分别为 ,v,则 线线平行 lmabakb(kR) 线面平行 laa0 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 3 面面平行 vkv(kR) (2)利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表 示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;第二,通过向量的运 算,研究平行问题;第三,
6、把向量问题再转化成相应的立体几何问题,从而得出结论 1若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反() 2平面 的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量() 3两直线的方向向量平行,则两直线平行() 4直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直() 类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例 1 如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E 为 PD 的中 点ABAP1,AD,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面 ACE 的一个法向量 3 解 因为 PA平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形, 所以 AB,AD,AP 两两垂直
7、如图,以 A 为坐标原点, ,的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐 AB AD AP 标系 Axyz,则 D(0, ,0),E,B(1,0,0),C(1, ,0), 3 (0, 3 2 ,1 2)3 于是,(1, ,0) AE (0, 3 2 ,1 2) AC 3 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 4 设 n(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, 则Error!即Error! 所以Error!令 y1,则 xz. 3 所以平面 ACE 的一个法向量为 n(,1,) 33 引申探究 若本例条件不变,试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量 解 由例
8、 1 解析图可知,P(0,0,1),C(1, ,0), 3 所以(1, ,1), PC 3 即为直线 PC 的一个方向向量 设平面 PCD 的法向量为 n(x,y,z) 因为 D(0, ,0),所以(0, ,1) 3 PD 3 由Error!即Error! 所以Error!令 y1,则 z. 3 所以平面 PCD 的一个法向量为 n(0,1,) 3 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为 n(x,y,z) (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量,. AB AC (3)列方程组:由Error!列出方程组 (4)解方程组:Error! (5)赋非零值:取其中
9、一个为非零值(常取1) (6)得结论:得到平面的一个法向量 跟踪训练 1 如图所示,在四棱锥 SABCD 中,底面是直角梯形,ABC90,SA底 面 ABCD,且 SAABBC1,AD ,建立适当的空间直角坐标系,求平面 SCD 与平面 1 2 SBA 的一个法向量 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 5 解 如图,以 A 为坐标原点,以, ,分别为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标 AD AB AS 系 Axyz, 则 A(0,0,0),D, ( 1 2,0,0) C(1,1,0),S(0,0,1), 则, DC ( 1 2,1,0) . DS ( 1 2,0,1) 易知向量是平
10、面 SAB 的一个法向量 AD ( 1 2,0,0) 设 n(x,y,z)为平面 SDC 的法向量, 则Error!即Error! 取 x2,则 y1,z1, 平面 SDC 的一个法向量为(2,1,1) 类型二 证明线线平行问题 例 2 已知直线 l1与 l2的方向向量分别是 a(2,3,1),b(6,9,3) 证明:l1l2. 证明 a(2,3,1),b(6,9,3), a b,ab,即 l1l2. 1 3 反思与感悟 两直线的方向向量共线时,两直线平行;否则两直线相交或异面 跟踪训练 2 已知在四面体 ABCD 中,G,H 分别是ABC 和ACD 的重心,则 GH 与 BD 的位置关系是_
11、 答案 平行 解析 设 E,F 分别为 BC 和 CD 的中点,则 (),所以 GH GA AH 2 3 EA AF 2 3EF GHEF,所以 GHBD. 类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 6 例 3 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,E,F 分别是 BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1平面 ADE; (2)平面 ADE平面 B1C1F. 证明 (1)以 D 为坐标原点,以,的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向, DA DC DD1 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),
12、C(0,2,0),C1(0,2,2), E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以(0,2,1),(2,0,0),(0,2,1) FC1 DA AE 设 n1(x1,y1,z1)是平面 ADE 的法向量, 则 n1,n1, DA AE 即Error!得Error! 令 z12,则 y11,所以 n1(0,1,2) 因为n1220,所以n1. FC1 FC1 又因为 FC1平面 ADE,所以 FC1平面 ADE. (2)因为(2,0,0),设 n2(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量由 n2,n2 C1B1 FC1 , C1B1 得Error!得Error!
13、令 z22,得 y21,所以 n2(0,1,2), 因为 n1n2,所以平面 ADE平面 B1C1F. 反思与感悟 利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量 和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题 跟踪训练 3 如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45, 底面 ABCD 为直角梯形,ABCBAD90,PABC AD1,问在棱 PD 上是否存 1 2 在一点 E,使 CE平面 PAB?若存在,求出 E 点的位置;若不存在,请说明理由 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 7 解 以 A 为坐标原点分别以 AB,AD
14、,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系 Axyz,如图所示 P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), 设存在满足题意的点 E(0,y,z), 则(0,y,z1), PE (0,2,1), PD , PE PD y(1)2(z1)0, (0,2,0)是平面 PAB 的法向量, AD 又(1,y1,z),CE平面 PAB, CE ,(1,y1,z)(0,2,0)0. CE AD y1,代入得 z , 1 2 E 是 PD 的中点, 存在点 E,当点 E 为 PD 中点时,CE平面 PAB. 1若点 A(1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l
15、的一个方向向量的坐标可以是 _(填序号) (1,0,1);(1,4,7);(2,4,6) 答案 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 8 解析 显然(2,4,6)可以作为直线 l 的一个方向向量 AB 2已知 a(2,4,5),b(3,x,y)分别是直线 l1,l2的方向向量若 l1l2,则 x_,y_. 答案 6 15 2 解析 由 l1l2得, ,解得 x6,y. 2 3 4 x 5 y 15 2 3已知向量 n(2,3,1)是平面 的一个法向量,则下列向量中能作为平面 的法向量 的是_(填序号) n1(0,3,1);n2(2,0,4); n3(2,3,1);n4(2,3,1) 答案 解析 由题可知只