苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何3.2.1-3.2.2含答案

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1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 1 3.2 空间向量的应用空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定空间线面关系的判定(一一)平行关系平行关系 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意 义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与 平面的平行问题 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 答案 (1)点：在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的位置就可以

2、用向量来表示我们把向量称为点 P 的位置向量 OP OP (2)直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量 对于直线 l 上的任一点 P，在直线上取a，则存在实数 t，使得t. AB AP AB (3)平面：空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定对于平面 上的任一点 P，a，b 是平面 内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得xayb. OP 空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示 梳理 (1)用向量表示直线的位置： 直线 l 上一点 A 条件 表示直线 l 方向的向量 a(即直线的方向向量) 形式 在直线 l 上取a，那么对于直线 l 上任意一点

3、 P，一定存在实数 t，使 AB 得t AP AB 定位置点 A 和向量 a 可以确定直线的位置 作用 定点可以具体表示出 l 上的任意一点 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 2 (2)用向量表示平面的位置： 通过平面 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定： 条件平面 内两条相交直线的方向向量 a，b 和交点 O 形式 对于平面 上任意一点 P，存在有序实数对(x，y)使得xayb OP 通过平面 上的一个定点 A 和法向量来确定： 平面的法向量直线 l，直线 l 的方向向量叫做平面 的法向量 确定平面位置过点 A，以向量 a 为法向量的平面是完全确定的 (3)直线的方向向

4、量和平面的法向量： 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量 a，叫做直线 l 的一个方向向量 平面的法向量 直线 l，取直线 l 的方向向量 n，n 叫 做平面 的法向量 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设 v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分别是直线 l1，l2的方向向量若直线 l1l2，则向量 v1，v2应满足什么关系 (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线 与平面平行？ (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线 l1l2，则直线 l1，l2的方向向量共线，即 l

5、1l2v1v2v1v2(R) (2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行 (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行 梳理 (1)空间中平行关系的向量表示： 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 ，v，则 线线平行 lmabakb(kR) 线面平行 laa0 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 3 面面平行 vkv(kR) (2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表 示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运 算，研究平行问题；第三，

6、把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论 1若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反() 2平面 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量() 3两直线的方向向量平行，则两直线平行() 4直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直() 类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例 1 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中 点ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量 3 解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， 所以 AB，AD，AP 两两垂直

7、如图，以 A 为坐标原点， ，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐 AB AD AP 标系 Axyz，则 D(0， ，0)，E，B(1,0,0)，C(1， ，0)， 3 (0， 3 2 ，1 2)3 于是，(1， ，0) AE (0， 3 2 ，1 2) AC 3 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 4 设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量， 则Error!即Error! 所以Error!令 y1，则 xz. 3 所以平面 ACE 的一个法向量为 n(，1，) 33 引申探究 若本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量 解 由例

8、 1 解析图可知，P(0,0,1)，C(1， ，0)， 3 所以(1， ，1)， PC 3 即为直线 PC 的一个方向向量 设平面 PCD 的法向量为 n(x，y，z) 因为 D(0， ，0)，所以(0， ，1) 3 PD 3 由Error!即Error! 所以Error!令 y1，则 z. 3 所以平面 PCD 的一个法向量为 n(0,1，) 3 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为 n(x，y，z) (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. AB AC (3)列方程组：由Error!列出方程组 (4)解方程组：Error! (5)赋非零值：取其中

9、一个为非零值(常取1) (6)得结论：得到平面的一个法向量 跟踪训练 1 如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面是直角梯形，ABC90，SA底 面 ABCD，且 SAABBC1，AD ，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 1 2 SBA 的一个法向量 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 5 解 如图，以 A 为坐标原点，以， ，分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标 AD AB AS 系 Axyz， 则 A(0,0,0)，D， ( 1 2，0，0) C(1,1,0)，S(0,0,1)， 则， DC ( 1 2，1，0) . DS ( 1 2，0，1) 易知向量是平

10、面 SAB 的一个法向量 AD ( 1 2，0，0) 设 n(x，y，z)为平面 SDC 的法向量， 则Error!即Error! 取 x2，则 y1，z1， 平面 SDC 的一个法向量为(2，1,1) 类型二 证明线线平行问题 例 2 已知直线 l1与 l2的方向向量分别是 a(2,3，1)，b(6，9,3) 证明：l1l2. 证明 a(2,3，1)，b(6，9,3)， a b，ab，即 l1l2. 1 3 反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面 跟踪训练 2 已知在四面体 ABCD 中，G，H 分别是ABC 和ACD 的重心，则 GH 与 BD 的位置关系是_

11、 答案 平行 解析 设 E，F 分别为 BC 和 CD 的中点，则 ()，所以 GH GA AH 2 3 EA AF 2 3EF GHEF，所以 GHBD. 类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 6 例 3 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1平面 ADE； (2)平面 ADE平面 B1C1F. 证明 (1)以 D 为坐标原点，以，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向， DA DC DD1 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0,0,0)，A(2，0,0)，

12、C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2，2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1) FC1 DA AE 设 n1(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1，n1， DA AE 即Error!得Error! 令 z12，则 y11，所以 n1(0，1,2) 因为n1220，所以n1. FC1 FC1 又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE. (2)因为(2,0,0)，设 n2(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量由 n2，n2 C1B1 FC1 ， C1B1 得Error!得Error!

13、令 z22，得 y21，所以 n2(0，1,2)， 因为 n1n2，所以平面 ADE平面 B1C1F. 反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量 和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题 跟踪训练 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PB 与底面所成的角为 45， 底面 ABCD 为直角梯形，ABCBAD90，PABC AD1，问在棱 PD 上是否存 1 2 在一点 E，使 CE平面 PAB？若存在，求出 E 点的位置；若不存在，请说明理由 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 7 解 以 A 为坐标原点分别以 AB，AD

14、，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系 Axyz，如图所示 P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 设存在满足题意的点 E(0，y，z)， 则(0，y，z1)， PE (0,2，1)， PD ， PE PD y(1)2(z1)0， (0,2,0)是平面 PAB 的法向量， AD 又(1，y1，z)，CE平面 PAB， CE ，(1，y1，z)(0,2,0)0. CE AD y1，代入得 z ， 1 2 E 是 PD 的中点， 存在点 E，当点 E 为 PD 中点时，CE平面 PAB. 1若点 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l

15、的一个方向向量的坐标可以是 _(填序号) (1,0,1)；(1,4,7)；(2,4,6) 答案 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 8 解析 显然(2,4,6)可以作为直线 l 的一个方向向量 AB 2已知 a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线 l1，l2的方向向量若 l1l2，则 x_，y_. 答案 6 15 2 解析 由 l1l2得， ，解得 x6，y. 2 3 4 x 5 y 15 2 3已知向量 n(2，3,1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量 的是_(填序号) n1(0，3,1)；n2(2,0,4)； n3(2，3,1)；n4(2,3，1) 答案 解析 由题可知只