《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.6.1含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.6.1含答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义12.6 曲线与方程曲线与方程2.6.1 曲线与方程曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法知识点 曲线与方程的概念思考 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案 yx.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点 M 的坐标(x0，y0)满足 y0x0或y0x0，即(x0，y0)是方程 yx 的解；反之，如果(x0，y0)是方程 yx 或 yx 的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标
2、轴距离相等梳理 如果曲线 C 上点的坐标(x，y)都是方程 f(x，y)0 的解(条件，即纯粹性)，且以方程 f(x，y)0 的解(x，y)为坐标的点都在曲线 C 上(条件，即完备性)，那么，方程 f(x，y)0 叫做曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x，y)0 的曲线特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法曲线 C 的点集和方程 f(x，y)0 的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(2)曲线的方程和方程的曲
3、线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质1过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线的方程为 x3.()2到 y 轴距离为 2 的点的直线方程 x2.()3方程1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距是 2 的直线()xy2苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2类型一 曲线与方程的概念例 1 命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”是正确的，下列命题中正确的是_(填序号)方程 f(x，y)0 的曲线是 C；方程 f(x，y)0 的曲线不一定是 C；f(x，y)0 是曲线 C 的方
4、程；以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上答案 解析 不论方程 f(x，y)0 是曲线 C 的方程，还是曲线 C 是方程 f(x，y)0 的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以，错误反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程跟踪训练 1 设方程 f(x，y)0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程 f(x，y)0 的点都在曲线 C 上”是不正确的
5、，给出下列命题：坐标满足方程 f(x，y)0 的点都不在曲线 C 上；曲线 C 上的点的坐标都不满足方程 f(x，y)0；坐标满足方程 f(x，y)0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上；一定有不在曲线 C 上的点，其坐标满足 f(x，y)0.其中判断正确的是_(填序号)答案 解析 “坐标满足方程 f(x，y)0 的点都在曲线 C 上”不正确，即“坐标满足方程 f(x，y)0 的点不都在曲线 C 上”是正确的 “不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故错，显然错类型二 点与曲线的位置关系例 2 方程(x4y12)(3)log2(x2y)0 表示的曲线经过点 A(0，3
6、)，B(0,4)，C，D(8,0)中的_个(53，74)答案 2解析 由对数的真数大于 0，得 x2y0，苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3A(0，3)，C不符合要求；(53，74)将 B(0,4)代入方程检验，符合要求；将 D(8,0)代入方程检验，符合要求反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x0，y0)?f(x，y)0 的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可跟踪训练 2 证明圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程是 x2y225，并判断点M1(3，4)，M2(2，2)是否在这个圆上5解 (1)设 M(x0，y0)
7、是圆上任意一点，因为点 M 到原点的距离等于 5，所以5，也x2 0y2 0就是 x y 25，即(x0，y0)是方程 x2y225 的解2 02 0(2)设(x0，y0)是方程 x2y225 的解，那么 x y 25，两边开方取算术平方根，得2 02 05，即点 M(x0，y0)到原点的距离等于 5，点 M(x0，y0)是这个圆上的点x2 0y2 0由(1)，(2)可知，x2y225 是圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程把点 M1(3，4)的坐标代入方程 x2y225，左右两边相等，(3，4)是方程的解，所以点 M1在这个圆上；把点 M2(2，2)的坐标代入方程 x2y225，左右两边
8、不等，5(2，2)不是方程的解，所以点 M2不在这个圆上5类型三 曲线与方程关系的应用例 3 判断下列结论的正误，并说明理由(1)到 x 轴距离为 4 的点的直线方程为 y4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy1；(3)ABC 的顶点 A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D 为 BC 的中点，则中线 AD 的方程为x0.解 (1)因到 x 轴距离为 4 的点的直线方程还有一个 y4，即不具备完备性所以结论错误(2)到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为|x|y|1，即 xy1.所以所给问题不具备完备性所以结论错误(3)中线 AD 是一条线段，而不是直线
9、，应为 x0(3y0)，所以所给问题不具备纯粹性所以结论错误反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断跟踪训练 3 若曲线 y2xy2xk0 过点(a，a)(aR)，求 k 的取值范围解 曲线 y2xy2xk0 过点(a，a)，a2a22ak0.苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4k2a22a22 .(a12)12k ，12k 的取值范围是.(，121已知坐标满足方程 f(x，y)0 的点都在曲线 C 上，那么下列说法正确的是_(填序号)曲线 C 上的点的坐标都适合方程 f(x，y)0；凡坐标不适合 f(x，y)0 的点都不
10、在曲线 C 上；不在曲线 C 上的点的坐标必不适合 f(x，y)0；不在曲线 C 上的点的坐标有些适合 f(x，y)0，有些不适合 f(x，y)0.答案 2已知方程1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为_(填序号)9x12y24(2,0) (1,2) (4,0) (3,1)答案 解析 将点(2,0)和(4,0)代入方程后成立，而，代入后方程不成立，故只有符合题意3若点 M在方程 x2(y1)210 所表示的曲线上，则实数 m_.(m2，m)答案 或 2185解析 依题意得2(m1)210，(m2)解得 m2 或 m.185所以 m 的值为 2 或.1854方程 4x2y26x3y0 表示的图
11、形为_答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2xy)(2xy3)0，即 2xy0 或 2xy30，苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义5原方程表示直线 2xy0 和直线 2xy30.5方程(x24)2(y24)20 表示的图形是_答案 4 个点解析 由题意，得Error!Error!或Error!或Error!或Error!方程(x24)2(y24)20 表示的图形是 4 个点1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围
12、问题一、填空题1方程 y3x2 (x1)表示的曲线为_(填序号)一条直线一条射线一条线段不能确定答案 解析 方程 y3x2 表示的曲线是一条直线，当 x1 时，它表示一条射线2曲线 C 的方程为 y2x1(10，得 k1 且 k0，故“k0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的必要不充分条件8若直线 kxy30 与椭圆1 有一个公共点，则 k 的值为_x216y24答案 54解析 联立方程组Error!消去 y 并整理，得(4k21)x224kx200，当 16(16k25)0，即 k时，直线与椭圆有一个公共点549如果曲线 C 上的点满足方程 F(x，y)0，有以下说法：曲线 C
13、的方程是 F(x，y)0；方程 F(x，y)0 的曲线是 C；坐标满足方程 F(x，y)0 的点在曲线 C 上；坐标不满足方程 F(x，y)0 的点不在曲线 C 上其中正确的是_(填序号)答案 10已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，若动点 P 满足 PA2PB，则点 P 的轨迹所围的面积为苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义7_答案 4解析 设 P(x，y)，PA2PB，(x2)2y24(x1)24y2，(x2)2y24.点 P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以 2 为半径的圆，所围成的面积 S224.11下列命题正确的是_(填序号)ABC 的顶点坐标分别为 A(0,3)，B(2,0)
14、，C(2,0)，则中线 AO 的方程是 x0；到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y5；曲线 2x23y22xm0 通过原点的充要条件是 m0.答案 解析 对照曲线和方程的概念，中“中线 AO 的方程是 x0 (0y3)” ；而中，动点的轨迹方程为|y|5.从而只有是正确的二、解答题12已知曲线 C 的方程为 x，说明曲线 C 是什么样的曲线，并求该曲线与 y 轴围4y2成的图形的面积解 由 x，得 x2y24.4y2又 x0，方程 x表示的曲线是以原点为圆心，2 为半径的右半圆，从而该曲线4y2C 与 y 轴围成的图形是半圆，其面积 S 42.12所以所求图形的面积为 2.13已知两曲线 f(x，y)0 与 g(x，y)0 的一个交点为 P(x0，y0)求证：点 P 在曲线f(x，y)g(x，y)0(R)上证明 因为 P(x0，y0)是两曲线的交点，所以点 P 的坐标既满足方程 f(x，y)0，又满足方程 g(x，y)0，即 f(x0，y0)0 且g(x0，y0)0，故 f(x0，y0)g(x0，y0)0，所以 P(x0，y0)的坐标是方程 f(x，y)g(x，y)0 的解，故点 P 在曲线 f(x，y)g(x，y)0(R)上三、探究与拓展14已知方程xy0；0；x2y20； 1，其中能表示直角坐标系的xyxy第一、三象限的角平
