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1、第六单元 多元函数微分学,主要内容 学习要求 典型例题,2,高阶偏导数,隐函数 求导法则,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,微分法在 几何上的应用,多元函数的极值,全微分 概念,偏导数 概念,一、主要内容,3,1、偏导数概念,纯偏导,混合偏导,4,2、全微分概念,函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分：,多元函数连续、可导、可微的关系,5,3、复合函数求导法则,6,4、隐函数的求导法则,5、微分法在几何上的应用,(1) 空间曲线的切线与法平面,切线方程为,7,法平面方程为,() 曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,8,六、拉格朗日乘数法,9,二、学习要求,了解二元函数及其
2、极限与连续的概念,理解偏导数与全微分的定义，熟练掌握求偏导数的方法(包括复合函数与一个方程所确定的隐函数的偏导数).,掌握空间平面和直线方程以及常见的曲面方程(柱面,球面,圆锥面,抛物面等二次曲面)，会求曲线在坐标面上的投影.,会求空间曲线的切线与法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程，以及求条件极值的拉格朗日乘数法.,10,三、典型例题分析,解,1的法方向n1=1,1,2, 2的法方向n1=3,1,1,所求的直线的方向为n=n1n2=3,7,2,所求的直线方程为,解,所求平面的法方向为已知直线的方向, 即l=2,1,0, 所以平面方程为2(x1)+(y1)+0(z1)=0,整理得： 2x+y
3、3=0.,11,解,12,13,解,14,例5,求隐函数的全微分,解,直接法：方程两端对x求偏导数得,方程两端对y求偏导数得,所求隐函数的全微分为,15,公式法：设,微分法：方程两端微分得,即,16,证,17,2) 方程两端对x求偏导数得,方程两端对y求偏导数得,18,解,例7 (应用题),19,例8,用拉格朗日乘数法求表面积为a2,体积最大的长方体体积.,解,设长方体的长宽高分别为x,y,z, 则此问题在条件,下，求函数,的最大值，,分别对x, y, z 求偏导数，并令其为0，得到,构造辅助函数,由方程组得到,只有一个极值点,此问题本身存在最 大值则只能在此极值点取得., 长宽高都等于 时，正方体体积取得最大值,20,例9,解,分析:,21,得,根据题意距离的最小值一定存在,且有唯一驻点,故必在该点处 取得最小值.,22,习题: 7-4: 9 7-7: 4,8,本单元作业,总习题七: 6,8,10,总习题八: 1,5,16,习题: 8-2: 1,3 8-3: 1,2 8-4: 7,8,9,10,
