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1、算 法 案 例,(第一课时),案例1 辗转相除法与更相减损术,1. 思考：,小学学过的求两个数最大公约数的方法？,先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,1、求两个正整数的最大公约数,（1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数,（1）,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,2、除了用这种方法外还有没有其它方法？,算出8251和6105的最大公约数.,辗转相除法（欧几里得算法）,观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61
2、051+2146,结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的最大公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,练习： 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90
3、=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,二、更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,（1）、九章算术中的更相减损术：,1、背景介绍：,（2）、现代数学中的更相减损术：,2、更相减损术,算理：
4、所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,986335 633528 35287 28721 21721 1477,所以，98和63的最大公约数等于7,3、方法：,例1 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 .,986335,（98，63） =（63，35） =（35，2
5、8） =（28，7） =（21，7） =（14，7） =（7，7） =7,633528,35287,28721 21714 1477,12,答:更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤，这实际也是一个循环结构 .,思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？,例、求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,练习：分别用辗转相除法和更相减损术求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） （2）（98，196） （3）（72，168） （4）（153，119）,45,98,24,17,P45,比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.,小结,
