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1、【考纲下载】,1. 了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示,平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的任意向 量a， 一对实数1，2，使a1e12e2. 其中， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 提示：(1)该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的 (2)对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组 基底,不共线,有且只有,不共线的向量e1、e2,1,平面
2、向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作 为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj， 把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a ， 其中 叫a在x轴上的坐标， 叫a在y轴上的坐标 (2)设 xiyj，即若 (x，y)，则A点坐标为 ，反之亦 成立(O是坐标原点),(x，y),(x，y),x,y,(x，y),2,平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab ,(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，,(3)若a(x，y)，为实数，则a ；当 时， 表示a方向的单位向量,(x1x2
3、，y1y2),(x1x2，y1y2),(x2x1，y2y1),(x，y),a,3,提示：向量的坐标与点的坐标的表示形式是不同的，向量的坐标的表示形 式是先写上向量的名称，再写上等号，然后写上它的坐标，如a(x，y)； 而点的坐标的表示形式中，点的名称和它的坐标之间不能写等号，如A(x，y),4平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则a与b共线ab .【思考】 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件能不能写成,x1y2x2y10,答案：不能因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2x2y10.,A(1,1) B(1，1) C(3,7) D(3，7
4、),解析： (1,3)(2,4)(1，1),答案：B,2已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与 同向的单位向量是( ),解析：A(4,1)，B(7，3)， (3，4)， 与同向的单位向量为,答案：A,3(2009重庆高考)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是( )A2 B0 C1 D2解析：ab(3，x1),4b2a(6,4x2)，3(4x2)6(x1)0，解得x2.答案：D,4设向量a(1,2)，b(2,3)若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.解析：由题意得ab(1,2)(2,3)(2,23)又ab与c共线，因此有(2)(7)(23)(4)0，由此解
5、得2.,答案：2,利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量,【例1】 如右图所示，在平行四边形ABCD中，M、 N分别为DC、BC的中点，已经试用c，d表示,解：解法一：设,思维点拨：直接用c，d表示 有难度，可换一个角度，由 表示,解法二：设 因M，N分别为CD，BC中点， 所以,因而,即 (2dc)， (2cd),变式1：如右图，平面内有三个向量 其中的夹角为120， 的夹角为30，且则的值为_,解析：如右图， 在OCD中，COD=30，OCD=COB=90，可求,=4，=2，+=6.,答案：6,利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的
6、向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标,【例2】 已知点A(1,2)，B(2,8)以及求点C、D的坐标和 的坐标,思维点拨：先设C、D点的坐标，利用向量相等列方程组求解,解：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得(x11，y12)，,所以有,所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(2,0)，,从而 (2，4),变式2：已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若 (R)， 则当为何值时，点P在第三象限？,解： (3,1)(5,7)(35，17) (35，17)，设P点的坐
7、标为(x，y)， 则 (x2，y3)，,又P在第三象限，,解得1， 即当1时，点P在第三象限.,向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用,【例3】 平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)回答下列问题 (1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)设d(x，y)满足(dc)(ab)且|dc|1，求d.,解：(1)(akc)(2ba)， 又akc(34k,2k),2ba(5,2)， 2(34k)(5)(2k)0，k,思维点拨：(1)由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程
8、，从而求 出实数k的值 (2)由两向量平行及|dc|1得出关于x，y的两个方程，解方程组即可得出 x，y的值，从而求出d.,(2)dc(x4，y1)，ab(2,4)， 又(dc)(ab)且|dc|1，,变式3：已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时， kab与a3b平行；平行 时它们是同向还是反向？,解： kab k(1,2)(3,2)(k3,2 k2)，a3b(1,2)3(3,2) (10，4)， kab与a3b平行等价于 (k3)(4)10(2k2)0，解得k,故当k 时，kab与a3b平行,此时kab ab (a3b)， kab与a3b反向.,【方法规律】,1平面向量的基本定理揭示
9、了同一平面内，任意三个向量之间的关系，即其中任意一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合特别地， A、B、P三点共线的充要条件是 且当P为AB中点时， 利用此结论可帮助简化运算解题时应仔细分析题设条件与所求问题的关系，选择恰当的基底，寻找封闭图形得到向量等式,2引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，成了数与形结合的载体向量的坐标表示，实际是向量的代数表示在引入向量的坐标表示后，即可使 向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来要注意：(1)向量坐标可以 运算，但点的坐标不能进行运算(2)已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标 时要搞清方向，用终点的坐标减去起点坐标.,【高考真题】,
10、(2009安徽)在平行四边形ABCD中，E、F分别是边CD和BC的中点， 若 其中，R，则_.,【规范解答】,解析：选择 作为平面向量的一组基底， 则 于是得解得 所以,答案：,【探究与研究】,本题主要考查了向量的线性运算和平面向量的基本定理向量加法的运算及其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义是本题运算的主要依据作为平面向量重点内容的向量的线性运算和平面向量的基本定理是往年高考考查的重点，值得关注,找准此题的突破口是解决本题的关键，诸多考生不知如何下手，难以发现三个向量 间的联系，也就很难得到正确的答案还有解决本题要有一定的运算能力，考生运算不准确也是导致本题错误的一个原因,在解决向量问题时，常常有一种有效办法，即首先选择好平面向量的一组基底，然后把问题中涉及的所有向量都用这组基底来表示，也就是说通过减少向量的个数，把问题转化为仅关于基底中的两个向量的问题来解决,【发散类比】,此题解答过程的最后也可以不分别求出，的值，可以将方程组两边分别相加，直接可得 另外，此题用数形结合的方法去解决可能更快捷如右图所示：,设G、H分别为AB、AD的中点，连接CG、CH，分别交AF、AE于点M、N，则M、N分别是ABC，ADC的重心，则 所以故= +=,本题作为一道填空题，还可以用特殊法，即把此平行四边形看做正方形，放在平面直角坐标系中，通过向量的坐标运算来解决，不难得到正确答案.,
