近世代数基础课件

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1、1,第一章 绪 论,2,第1讲 绪 论,一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际问题,3,第二章 基本概念,4,第1讲 集合及其之间的关系集合第2讲 集合及其之间的关系对应关系(映射)(人造关系)第3讲 代数运算适应的规则运算律第4讲 与代数运算发生关系的映射同态映射第5讲 等价关系与分类,5,第1讲 基本概念之集合及其之间的关系集合,1 集合与集合元素的定义 2 集合与集合元素的表示符号 3 集合与集合元素之间的关系属于关系 4 集合的分类标准及分类 5 集合的表示方法 6 集合之间的内在关系包含

2、关系 7 集合运算 8 运算律 9 特殊集合的表示符号 10 集合的补充说明 11 包含与排斥原理,6,第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 对应关系(映射)(人造关系),1 映射概念回忆 2 映射及相关定义 3 映射的充要条件 4 映射举例 5 符号说明 6 映射的合成及相关结论 7 映射及其映射相等概念的推广 8 集合及其之间的关系特殊的映射（代数运算） 9 集合及其之间的关系一一映射,7,第3讲 基本概念之代数运算适应的规则运算律,1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律,8,第4

3、讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射同态映射1 同态映射2 同态满射3 同构映射4 自同构映射5 举例,9,第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 商集,1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与集合A的分类之间的联系,10,第三章 群,11,第1讲 代数系统 第2讲 半群 第3讲 群的定义及性质 第4讲 有限群 第5讲 子群的定义及性质 第6讲 元素的阶 第7讲 循环群 第8讲 变换群 第9讲 特殊子群 第10讲 群的同态与同构 第11讲 群与对称的关系,12,第1讲 代数系统,2 代数系统的举例,1 代数系统及子代数系统的定义,13,第2讲 半群,1 半群、子半群、

4、交换半群的定义及判定定理 2 半群的举例 3 半群中幂的定义及性质,14,1 群的第一定义 2 单位元及逆元的定义 3 群的第二定义 4 群的第三定义 5 群的第四定义 6 群的定义的等价证明 7 群的举例 8 群的重要性质,第3讲 群的定义及性质,15,第4讲 有限群,1 群的分类及群的阶2 有限群的判定定理3 由有限集合上代数运算的运算表观察代数运算的性质,16,1 子群定义 2 子群的判别方法 3 子群的性质,第5讲 子群的定义及性质,17,1 元素阶的定义2 元素阶的举例3 元素阶的性质,第6讲 群中元素的阶,18,2 循环群与元素阶的关系,1 循环群的定义及举例,3 循环群的一般形式

5、,5 循环群生成元的确定定理,第7讲 循环群,4 循环群的生成元的个数定理,19,第8讲 变换群 1 变换、满变换、单变换、一一变换的定义及符号说明 2 特殊集合关于乘法的结论 3 变换群举例 4 特殊的变换群,20,1 循环群子群的一些结论 2 循环群概念的推广 3 特殊子群的几何意义探讨 4 子群的陪集 5 正规子群与商群,第9讲 特殊子群,21,1 群的同态的定义及举例 2 同态的性质及结论 3 同构的性质及结论 4 循环群的构造及循环群之间的同态 5 同态基本定理与同构定理,第10讲 群的同态与同构,22,第11讲 群与对称的关系1 序言2 几何对称3 代数对称,23,第四章 环论,2

6、4,第1讲 环的定义及基本性质 第2讲 特殊元素及性质 第3讲 环的分类及特殊环的性质 第4讲 环的特征 第5讲 子环、理想(主理想)及素理想和极大理想 第6讲 环的同态与同构 第7讲 特殊环 第8讲 商域 第9讲 有限域,25,第1讲 环的定义及基本性质,1 环的定义 2 环的举例 3 环的初步性质,26,第2讲 特殊元素及性质,1 特殊元素之一零元、负元及单位元、逆元、零因子2 零因子的性质3 求环中的特殊元素举例,27,第3讲 环的分类及特殊环的性质,1 特殊环的定义2 除环的性质3 有限环的几个相关结论4 域中元素的计算方法5 循环环的性质,28,第4讲 环的特征,1 环的特征的定义2

7、 特殊环的特征(数)及相关结论3 举例,29,第5讲子环、理想(主理想)及素理想和极大理想1 子环2 理想(主理想)3 素理想和极大理想,30,第6讲 环的同态与同构,1 环的同态及同构的定义 2 环的同态的举例 3 环的同态基本性质 4 商环及环的同态基本定理 5 环的同构基本定理,31,第7讲 特殊环,1 矩阵环2 多项式环3 剩余类环,32,第8讲 商域1 构造域的方法2 挖补定理3 扩域定理4 扩域的形式5 商域的定义及结论6 举例,33,第9讲 有限域,34,第五章整环里的因子分解,35,第1讲 不可约元、素元、最大公因子 第2讲 唯一分解环 第3讲 特殊的唯一分解环,36,1 整环

8、的单位定义及性质 2 整除的定义及性质 3 相伴关系的性质 4 不可约元 5 最大公因子 6 最大公因子、互素的概念推广到多元的情形,第1讲 不可约元、素元、最大公因子,37,第2讲 唯一分解环 1 唯一分解元、唯一分解元的标准分解式、唯一分解环、非唯一分解环举例 2 最大公因子的存在性定理、不可约元与素元的关系定理 3 唯一分解环的判定定理,38,第3讲 特殊的唯一分解环1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根,39,第六章群论补充,40,第1讲 共轭元与共轭子群,第2讲 群的直积,第3讲 群在集合上的作用,第4讲 西罗定理,41,研究群内一些特殊类

9、型的元素和子群1 中心和中心化子2 共轭元和共轭子群3 共轭子群与正规化子,第1讲 共轭元与共轭子群,42,一 群的外直积 1 群的外直积的定义 2 群的外直积的基本性质 3 群的外直积定义的推广 4 群的外直积举例 二 群的内直积 1 群的内直积定义 2 群的内直积的充要条件 3 群的内直积定义的推广 三 群的内外直积,第2讲 群的直积,43,一 群在集合上的作用的定义 二 群在集合上的作用举例 1 置换群在集合上的作用 2 群在自身集合上的作用 3 群的共轭变换定义了群在它自身上的作用 4 群在自身的全体子群的集合上的作用 三 X中的元素x在G下的轨道 1 X中的元素x在G下的轨道定义 2

10、 X中的元素x在G下的轨道举例 四 轨道的相关结论,第3讲 群在集合上的作用,44,第4讲 西罗定理,45,第一章 绪 论,46,绪 论,第一讲,47,48,一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际问题,49,一 关于代数的观念,从人们的观念上来看,人们关于代数的观念大致有三种： 1 用字母的代数 2 解方程 3 各种代数结构的理论,50,现代代数学的研究对象不再是以解方程为中心,而重点是研究各样的代数结构的代数性质以及它们之间的联系.当然,所谓代数结构实际上就是带有运算的集合.一般说来,这些运算还

11、适合某些所希望的若干条件.初等代数、高等代数、线性代数都称为经典代数.它的研究对象主要是代数方程和线性方程组.而现代代数学也即近世代数(又称为抽象代数),其主要内容是研究,51,各种代数系统(代数结构),而对于代数结构,其基本成分则是集合和集合上的映射.而近世代数就像古典代数那样,是关于运算的学说,是计算规则的学说,但它不把自己局限在研究数的运算的性质上,而是企图研究更具一般性的元素上运算的性质,这种趋向是现实中的要求所提示的.近世代数已广泛应用于近代物理学、近代科学、计算机科学、数字通讯、系统工程等领域.,52,二 数学史的发展阶段,1 萌芽阶段 2 初等数学阶段 3 高等数学阶段 4 近代

12、数学阶段 5 现代数学阶段,53,三 代数发展的阶段(数学发展史),54,四 代数学发展的四个阶段,代数学经历了漫长的发展过程,抽象代数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段2 代数的简化文字阶段3 符号代数阶段4 结构代数阶段,55,1 最初的文字叙述阶段,古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学.此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理也都采用直观的方法.

13、在中国古代则有著名的筹算法,而在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方法.例如通过图形的组合可以得到不要认为简单的几何变换只能产生简单的代数结论,恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重要的代数结论(如勾股定理与勾股数.,56,2 简化文字阶段,缺乏符号运算的代数当然是相当原始的代数学.直到古希腊数学后期,数学家丢番图才开始把通常的语言叙述作简化,利用简化的文字符号代替一些相对固定的代数表达式.这一时期称为代数的简化文字阶段,这一时期大致延续到欧洲文艺复兴时代.丢番图对代数学的发展做出了突出的贡献,算术一书是丢番图留下来

14、的著作,该著作研究了一系列不定方程的求解问题.例如把一个平方数表为两个平方数之和的问题.后来欧拉发现了正整数能够表为两个整数平方和的充分必要条件.把一个给定的整数表为四个数的和再加上这四个数的平方和.求两个有理数使它们的和等于它们的立方和,例如七分之五与七分之八等等.正是在丢番图关于整数诸如此类表法研究的基础上,17世纪伟大的法国数学家费马(Pierre de Fermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n3时不可解问题.19世纪费马问题的研究也是导致近世代数理想论产生的重要契机.,57,3 符号代数阶段,这一阶段是经过欧洲文艺复兴之后的好几位数学家的努力而达到(它大致在

15、17世纪完成).它的标志是用字母表示数,这一过程使代数学达到了现在我们看到的这种符号演算形式.较早的代表著作是德国数学家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述综合算术.其利用10进制小数表示实数.对代数学的符号体系做出了重要贡献的另一位代表人物是法国数学家韦达(F.Viete,1540-1603).韦达是第一个系统使用字母表示数的人,在代数、三角学等许多方面都做出了杰出的贡献.,58,4 结构代数阶段,这一阶段代数学的研究对象不再是个别的数字运算,而是抽象的运算系统(如群、环、域等)的代数结构.它起因于年轻的法国数学家Evariste Galois(1811-1832)对代数

16、方程式解的研究.Galois引入了群与扩域的工具,解决了高次方程的求根问题.这个问题是在16世纪中叶,两位意大利数学家G.Cardano(1506)与L.Ferrari(1545)发现了三、四次方程的求根公式之后一直困扰数学家达三百年之久的代数学难题. Galois摆脱了前人关于根的计算方法的研究途径,发现根的对称性群的结构能够决定根的可解性. Galois的研究不但确立了群论在数学中的地位,同时也开创了结构代数这个新型的代数学研究方向.在数学家们致力于解决高次方程的求根问题的同时,Carl Gauss(1777-1855)为了解决Fermat问题,开始一般性的研究代数数域.他的学生E.Kummer(1810-1893)在Gauss方法的基础上引入理想数,使Fermat问题的研究推进了一步.直到19世纪末已建立了群、环、域的系统理论.,