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1、第四章窄带随机过程,带限,功率谱密度在频率轴的某个区域之外为零。（频率宽度不是无限大） 工程问题都是带限过程。低通带通,0,0,1,1,窄带,在带通过程中，如果 ，则叫窄带过程。应用： 调制、发射、传输工程中的大多数信号是窄带信号。,0,数学描述,常常用复数的方式，以方便相位运算。,复数表示方法的好处： 数学性质好，简单方便。 数字信号处理算法。 实际数据也可能是复数的。,4.1 希尔伯特变换,4.1.1希尔伯特变换和解析信号,一定义：设有实信号,它的希尔伯特变换记做,或, 正变换, 反变换,频域分析,Hilbert变换器是一个90度移相器,Hilbert频域特性图示,0,0,1,0,+j,-
2、j,图1,图2,图3,相当于线性变换,解析信号(复信号的一种常见形式),正频率加倍，负频率清零。复信号没有负频率。,4.1.2 Hilbert变换的性质,(1),(2),两次移相 ，相当于,若:,则:,（线性系统可以交换）,（3）希尔伯特变换只改变相位，不改变能量或功率,能量:,功率:,(4) 对平稳过程 ： 也是平稳的.且 与 具有相同的自相关函数和功率谱密度：,证明: 用公式,5）对平稳过程,和,都是奇函数,过原点.,与,在同一时刻正交,(6)低频带限 ，带宽 ，当 时,，,，,特殊情况:,4.3 窄带随机过程的基本特点,4.3.1 满足：,是有限带宽,是其功率谱密度的中心频率,称为窄带随
3、机信号。,(准正弦震荡),包络,与相位,均为慢变化（包含信息）,快变（载波),展开成另一种表达形式:,同相分量,正交分量,理解：（载波相乘低通）得出低频分量：,低通可以取出,可以取出,从而得到包络 和相位 。,同理:,直接得到困难,4.3.2 平稳窄带随机过程的特点,对窄带过程取希尔伯特变换,用 及希尔伯特变换 表示 两个正交分量,1均值：零均值,2. 自相关：,证明:,同理:,结论:同均值 同方差,3功率谱密度,由总过程的谱得到两个正交分量的谱,重要关系式,4.信号的自相关与低频自相关的关系：,若:,即单边功率谱关于 对称,0,由低频正交过程的谱得到信号的谱,5.互相关,在同一时刻,与,正交
4、,6. 互谱密度,若:,即：,与,处处正交,窄带过程的频谱及示意波形,4.4窄带高斯过程分析,已知：设 为零均值平稳窄带高斯信号，求： ， 的概率分布,思路:,主要结论：与 是与 相同的高斯分布，且两者同一时刻正交、不相关、相互独立的。若的单边功率谱关于 对称，则 与 处处正交、不相关、相互独立。2包络 是瑞利分布,相位 为均匀分布.包络与相位之间同一时刻独立。,推导过程：,与,是高斯，,、,且,与,在同一时刻是正交、不相关、相互独立的,一：,二.,包络的一维概率密度,三.,服从瑞利分布,四.,相位的概率分布,服从均匀分布,在同一时刻包络和相位是互相独立的。,例:零均值窄带高斯 ，功率谱为高度为A,带宽为 的矩形.中心频率为 求：,1.,2.,解:,功率谱相对于 对称,两正交分量处处不相关、独立.,例：设零均值平稳窄带高斯信号,的功率谱,为：,求:,1.,2.,3.,4.,1.,2.,包络服从瑞利分布：代入,相位是均匀分布：,3.,4.,取反变换即可（注意不要从时域进行，比较麻烦）,例:,为广义平稳的实信号，,求证:,
