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1、机电工程学院,机械类专业技术基础课,2013年5月,2,教学内容,第6章 系统稳态误差分析和计算,第1章 绪 论,第3章 系统的时域分析法,第2章 系统的数学模型,第4章 系统的频域分析法,第5章 系统稳定性分析,第8章 计算机控制系统,第7章 系统的设计与校正,5.1 系统稳定性的基本概念 5.2 系统稳定的充要条件 5.3 代数稳定判据（Routh判据和Hurwitz判据） 5.4 奈奎斯特稳定判据（Nyquist判据） 5.5 应用奈奎斯特判据分析延时系统稳定性 5.6 由伯德图判断系统的稳定性 5.7 控制系统的相对稳定性,哈尔滨工业大学机电工程学院,本章目录,2. 闭环控制系统的稳定
2、性问题,1.单摆,系统受扰动后能否恢复原来的状态?,5.1 系统稳定性的基本概念,定义：系统在初始状态作用下,5,无输入时的初态 输入引起的初态,输出 (响应),收敛(回复平衡位置) 发散(偏离越来越大),系统稳定 系统不稳定,结论：系统是否稳定，取决于系统自身的结构参数，与输入无关,反馈削弱偏差，则稳定 反馈加强偏差，则不稳定,稳定性是指自由响应的收敛性,若系统存在反馈,5.1 系统稳定性的基本概念,5.1 系统稳定性的基本概念,5.2 系统稳定性的充要条件,N(s)到Xo(s)的传递函数,设n(t)为单位脉冲函数，N(s)=1,5.2 系统稳定性的充要条件,如果系统稳定，应有,即,5.2
3、系统稳定性的充要条件,的根：,的根：,5.2 系统稳定性的充要条件,5.2 系统稳定性的充要条件,为系统闭环特征方程根的实部,控制系统稳定性的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部,系统特征根即闭环极点，故也可以说：极点全部在s平面的左半平面,5.2 系统稳定性的充要条件,如果系统稳定，应有,即,五次及更高次的代数方程没有一般得代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）阿贝尔定理,5.2 系统稳定性的充要条件,5.3 劳斯稳定性判据,基于方程式的根与系数的关系 设系统闭环特征方程为,s1, s2, , sn 为系统的特征根,将上式因式乘开，可求得根与系数的关系,5
4、.3 劳斯稳定性判据,要使全部特征根均具有负实部，必须满足： （1）特征方程的各项系数ai 0 (i=0, 1, 2, , n)（2）特征方程的各项系数的符号都相同ai一般取正值，则上述 两条件简化为 ai 0必要条件,5.3 劳斯稳定性判据,充要条件： 如果“劳斯判据”中第一列所有项均为正，则系统稳定。,劳斯阵列：,5.3 劳斯稳定性判据,其中：,劳斯判据还说明，实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。,5.3 劳斯稳定性判据,例5-1 设控制系统的特征方程式为：试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。 其次，排劳斯阵列
5、：,劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。,5.3 劳斯稳定性判据,例题5-1,例5-2 设控制系统的特征方程式为 ：试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。 其次，排劳斯阵列：,第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有两个实部为正，控制系统不稳定。,5.3 劳斯稳定性判据,例题5-2,对于特征方程阶次低 (n3) 的系统，劳斯判据可简化为： 二阶系统特征式为 ，劳斯表为,故二阶系统稳定性的充要条件是：,5.3 劳斯稳定性判据,三阶系统特征式为 ， 劳斯表为：,故三阶系统稳定性的充要条件是：,5.3 劳斯稳定性判据,例5-3 设某反馈控制
6、系统如下图 所示，试计算使系统稳定的K值范围。,解：系统的传递函数为,特征方程？,5.3 劳斯稳定性判据,例题5-3,特征方程为,根据三阶系统稳定的充要条件， 可知使系统稳定需满足,故使系统稳定的K值范围为0 K 0,b0)s3=-a-jb 对于矢量( s- s2 )和( s- s3 ), 当s=j 变化时,5.4 Nyquist稳定性判据,（4）设sm+1、sm+2为具有正实部的共轭复根，sm+1=c+jd (c0,d0)sm+2=c-jd,对于矢量(s- sm+1)和(s- sm+2), 当s=j 变化时,另外，原点根不引起角变化量。,5.4 Nyquist稳定性判据,如果n次多项式D(s
7、)有p个根在右半平面，q个在原点，其余(n-p-q)个在s左半面，则,（1）如果开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理如果闭环系统是稳定的，即 所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理，则,5.4 Nyquist稳定性判据,设开环极点均在左半平面，则F(s)的乃氏图，当从- 到变化时，其相对原点的角变化量为零时，系统闭环后稳定。,F(s)=1+G(s)H(s) 与 G(s)H(s) 的乃氏图差向量（-1，j0）,5.4 Nyquist稳定性判据,设开环极点均在左半平面，则开环系统G(j)H(j)乃氏图，当从- 到变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为零时，系统闭环后稳定。,乃奎斯特稳
8、定判据表述一：,设开环极点均在左半平面，则系统开环乃氏图，当从- 到变化时，不包围（-1，j0）点时，系统闭环后稳定。,（2）如果开环极点p个在s右半平面，q个在原点，其余(n-p-q)个在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即 的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，,5.4 Nyquist稳定性判据,设开环极点均在左半平面，则F(s)的乃氏图，当从- 到变化时， F(s)相对原点的角变化量如下，系统闭环后稳定。,5.4 Nyquist稳定性判据,设开环特征多项式在右半平面有p个零点(开环极点p个) ，没有原点根，则开环乃氏图，当从- 到变化时，其相对(-1
9、，j0)点的角变化量为 时，系统闭环稳定。,乃奎斯特稳定判据表述二：,如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(1, j0)点的圈数（角增量 ）等于开环右极点的个数，则闭环系统稳定。,闭环稳定的充要条件,单输入-单输出线性系统的传递函数为有理分式，分式的分子和分母都是s的实系数多项式。实系数多项式可以因式分解为实系数一次和二次多项式之积，而且实系数二次多项式也可以分解为两个复系数的一次多项式之积。因此传递函数的一般形式：,其中，zi、pi分别为系统的零点和极点，是实数或复数（共轭）。,5.4.1 映射定理,在s平面上的一点，必定在F(s)平面上对应一点，称为点映射。,同理，存在闭合曲线映射。,例题5-7,5.4.1 映射定理,例题5-8,5.4.1 映射定理,表达了s平面上一条顺时针封闭曲线，经过关系函数F(s)，转换到另一个复平面F内，即映射，在F平面具有的特征,
