动量和角动量(2)

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1、一 冲量 质点的动量定理,质点动量定理 在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量,冲量（矢量）,外力在一段时间里的累计量，过程量冲量方向：,冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量的方向,速度增量方向,元冲量：,（1） F 大小不变（恒力）,（2） F 为大小变化,若力的方向不变，且,某方向不受力，该方向上动量不改变,说明,分量表示,动量定理,矢量式,冲量的分量只改变自己方向上的动量,平均力：如果一个恒力与一个变力在一段时间里的冲量相等，则该恒力称为变力的平均力,分量表示,系统：研究对象包含多个物体 外界：系统外其他物体,一 质点系的动量

2、定理,内力：系统内部各物体间相互作用力f特点：成对出现，大小相等方向相反结论： 外力：外界物体对系统内物体的作用力F,作用于系统的合外力的冲量等于系统总动量的增量质点系动量定理,注意,质点的动量定理和质点系的动量定理形式相同，含义有区别,区分外力和内力,内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量.,用质点系动量定理处理问题可避开内力，较为方便。,质点系动量定理,若质点系所受的合外力,(1) 系统的总动量不变，但系统内任一质点的动量是可变的,(2) 守恒条件：合外力为零,讨论,当 时，可近似认为系统总动量守恒,在碰撞等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力，作动量守恒处理；,(3

3、)合外力不为零，但合力在某方向分量为零，则系统在该方向上的动量守恒。,(5) 动量守恒定律在微观高速范围仍适用,(4)适用于惯性系，定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量之和应是同一时刻的动量之和,粘附 主体的质量增加（如滚雪球）抛射 主体的质量减少（如火箭发射）,变质量问题（低速，v c）有两类：,下面以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。,选地面参考系，并建立直角坐标系,t +dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度,t 时刻 火箭的速度,火箭在喷出气体前后系统动量守恒：,t时刻,系统动量,t+dt时刻，火箭的动量,喷出气体 dm 的动量,选 t 时刻火箭及内部气体为系统，,将(2) 代入(1)

4、式中，可得,设火箭在点火前质量为Mi，初速度为 vi,设火箭在燃料烧完后质量为Mf，速度为 vf,设喷气速率为恒定，分离后积分,讨论： 火箭获得的速度与燃料喷射速度成正比； 化学燃烧，理论值可达u5000m/s，实际50。 限度在于高效燃料产生高温、高压、高速气体 火箭燃烧室及喷口要能耐此“三高”。 现代火箭：u 2500m/s, P10atm, T3000。,火箭获得的速度与燃料质量比有关；质量比呈几何级数增加时，速度增加呈算术级数。 限度在于：载荷增加，火箭外壳及内部装置增大，消耗也加大 若记： （质量比）通常N10，,若取u2500m/s, N=6, v4500m/s，远小于第一宇宙速度

5、。,解决方法：多级火箭设：vi =0，u恒定，各级质量比为N1、N2Nn,若取三级，且设,则,则,求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F,例1 柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0，总长度l，质量均匀分布，均匀地以速度v0提绳。,动量定理注意：系统 过程 原理应用,类似火箭飞行的方法求解,建立如图坐标，设t时刻，提起绳子长度为x，对应质量为m，经过dt时间后，又提起dx，对应质量为dm,系统：已提升的质量m 和将要提升的质量dm,系统动量,冲量:作用力 ；作用时间dt,动量定理,2 质心的位置,由n个质点组成的质点系，,m1,mi,m2,c,一 质心,1 质心: 质点系的质量中心,对质量连续分布的物

6、体：,对质量离散分布的物系：,质心的位矢与参考系的选取有关。,质量分布确定的物体（刚体）的质心相对自身位置确定不变。,质量均匀的规则物体的质心在几何中心。,质心与重心（重力的作用点）不一样，物体尺寸不十分大时， 质心与重心位置重合。,说明,例2 水分子H2O的结构如图每个氢原子和氧原子中心间距离均为d=1.010-10 m，氢原子和氧原子两条连线间的夹角为=104.6o求水分子的质心,O,H,H,o,C,d,d,52.3o,52.3o,解,yC=0,O,H,H,o,C,d,d,52.3o,52.3o,二 质心运动定理,m1,mi,m2,c,上式两边对时间 t 求一阶导数，得,根据质点系动量定理

7、,表明：质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。,质心运动定理,再对时间 t 求一阶导数，得,讨论： （1）在质量一定，合外力确定的情况下，质心运动与物体的质量如何分布无关，与外力作用在物体上的位置无关 （2）质心的运动可代表物体的平动规律；（3）系统总动量与质心运动速度紧密相连； （4）系统内力不影响质心运动.（内部互作用不改变系统总动量）,例3 一质量m1=50kg的人站在一条质量为m2=200kg ，长度 l=4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）,解：设人站在船的左端时，人和船的的位置

8、坐标分别为x1, x2,对船和人这一系统，,设人站在船的右端时，人和船的的位置坐标分别为x1 x2,定义,角动量大小 （面积）,角动量方向,1 质点的角动量,角动量单位：kgm2s-1,（1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。,讨论,（2） 方向的确定,（3）做圆周运动时，质点对圆心的角动量大小为,角动量的大小和方向均不变，质点对圆心O的角动量为恒量,2. 力对定点的力矩,给定参考点,方向：由右手定则确定 大小：,若力 的作用点相对于某一固定点o 的位矢为 ，该力对o点的力矩被定义,力臂d：参考点O到力作用线的垂直距离,3. 角动量定理,作用于质点的合外力对参考点 O

9、的力矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.,质点的角动量定理,（2） 质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性系.,讨论:, 各量均对同一参考点;,对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量质点的角动量定理,冲量矩,恒矢量,当质点所受对参考点的合力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量质点的角动量守恒定律,当,1,2 是普遍规律，宏观、微 观都适用。,3 有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。,特征：,质点对力心的角动量永远守恒！,4 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。,讨论,(1)F=0 匀速直线运动的质点，对直线外任意点的角动量为常量 (2)

10、F0，但力始终通过定点o 有心力,5 角动量守恒，不见得动量守恒。,作匀速圆周运动的质点对圆心的角动量为常量 行星绕太阳的运动,表明小球对圆心的角动量不变,实验中发现,质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的角动量的矢量和：,对 t 求导，利用质点角动量定理，则得,内力对体系的总力矩为零，上式变为,质点系角动量定理,质点系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩,二、质点系角动量守恒,当外力对定点的总外力矩为零时，则,只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的.,比较 动量定理 角动量定理,形式上完全相同，所以记忆上就可简化从动量

11、定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。,例4 我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径R=6387km，人造卫星距地面最近距离l1=439km，最远距离l2=2384 km。若人造卫星在近地点A1的速度v1=8.10 kms，求人造卫星在远地点A2的速度。,解: 人造卫星在运动中受地球的引力（有心力）作用，此力对地心不产生力矩，人造卫星对地心的角动量守恒。故,解得,“行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积”,例5. 用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：,解：设在时间 dt 内，行星的矢径扫过扇形面积 ds,两边除以dt,=恒量,命题得证。,练习1 选择题 一质点沿直线做匀速率运动时， (A) 其动量一定守恒，角动量一定为零。 (B) 其动量一定守恒，角动量不一定为零。 (C) 其动量不一定守恒，角动量一定为零。 (D) 其动量不一定守恒，角动量不一定为零。,练习2 应用动量守恒求解例3 一质量m1=50kg的人站在一条质量为m2=200kg ，长度 l=4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）,作业：1011冬季学期大学物理一习题19, 20, 23, 24，25,