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1、1,定义：设 X，Y 是两个论域，若有一规则 f ，使每一个 xX 唯一确定一个 yY 与之对应，则称 f 是从 X 到 Y 的一个映射，记为 f : X Y，x yY， 其中 x 称为 y 的原象；y 称为 x 的象，记作 y = f (x)；X 称为映射 f 的定义域；记 f ( X ) = y x X , 使 y = f (x)Y ， 称 f ( X ) 为映射 f 的值域。,2,定义：设 f 是从 X 到 Y 的一个映射。 ( 1 ) 对任意 A X，记 f ( A) = y xA, 使 y = f (x)Y ， 这是 Y 的一个子集，称为 A 在 f 作用下的象( 当 A = 时，规
2、定 f ( A) = )。 ( 2 ) 对任意 B Y，记 f -1(B) = xxX, 使 f (x)B ， 这是 X 的一个子集，称为在 f 作用下的原象( 当 B = 时，规定 f -1(B) = )。,3,3.4 模糊集合的扩张原理,3.4.1 经典集合的扩张原理 定义 3.4.1 设 X、Y 是经典集合，若给定 X 到 Y 的映射 f：XY，x |f (x) = y,则 f 可以诱导出两个映射：一个是P (X) 到P (Y) 的映射，一个是 P (Y) 到 P (X) 的映射，前者仍记为 f ，后者记为 f 1，它们具体的定义如下：,4,f 诱导出的第一个映射是一个P (X) 到P
3、(Y) 的映射，仍记为 f，它的定义如下： f : P (X ) P (Y ),A f ( A )P (Y ), 此处 f ( A ) = yY xA , 使 y = f (x)，我们称 f (A) 为 A 的象。,5,f 诱导出的第二个映射是一个P (Y) 到P (X) 的映射，记为 f 1，它的定义如下： f 1: P (Y) P (X)， B f 1(B) P (X )， 此处 f 1(B) = xX 使 f (x)B ， 我们称 f 1(B) 为 B 的逆象 (原象)。,6,由 y f (x) 这一个映射诱导出两个集映射 f (A) 及 f 1(B)，这种情况称为经典扩张原理。参见图
4、3.25。 例： f： R R，x | y = f (x) = x2, 对 A = -1，1 ， f ( A ) = 0，1； 对 B = 1， 4， f 1(B) = -2，-1 1，2 。,7,图 3.25 经典扩张原理示意图,8,命题 3.4.1 若用特征函数来表示集 f (A) 与集 f 1(B)，则有 f 1(B)(x) = B( f(x) ), x X . (3.4.2(b) 证明 先证 ( 3.4.2 (a) )。 yY,f (A) (y)=1 y f (A),9, xA 使 y = f (x) xX 使 A(x) = 1 且 y = f (x) A(x) x f- -1 (y)
5、 =1 , 故有( 约定 = 0 )。,10,再证 ( 3.4.2 (b) )。xX，f 1(B)(x) = 1 x f 1(B) f (x) B B( f(x) ) =1， 故有f 1(B)(x) = B( f(x) )。,11,3.4.2 模糊集合的扩张原理,进一步，我们能否将 f 的定义域和值域分别扩张到F ( X ) 和F (Y ) 呢？ 定义 3.4.2 设 X、Y 是经典集合，给定 X 到 Y 的映射 f：XY， x |f (x) = y,则 f 可以诱导出一个F ( X ) 到 F (Y ) 的映射， f：F ( X ) F (Y )，,12,A |f (A)， 以及一个F (Y
6、 ) 到F ( X ) 的映射，称为逆映射 f 1： F (Y ) F ( X ) ，B | f 1 (B)。 这里 f (A) 与 f 1 (B) 的隶属函数分别定义为：,13,以上两个映射常称为扩张映射，参见图3.26及图3.27。,14,15,例 3.4.1 设 X= x1, x2, x3, x4, x5 ，Y= a, b, c, d 给定映射如下： f : XY, x f (x)； f (x) 的定义为,16,现有 F (X)，F (Y) ，按扩张原理求 f (A) 、f -1 (B)。 解：分别对每个元素求隶属度。按扩张原理有,17,故,18,又所以,19,例 设 X，Y 为实数域，
7、X 上的模糊集 A = 0.4/-2 + 0.8/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.5/2， 从 X 到 Y 的映射 f ：x x2，则 A f (A)B 为： B1/0 + 0.8/1 + 0.5/4。 又 f 1(B) 0.5/-2 + 0.8/-1 + 1/0 + 0.8/1 + 0.5/2 。,20,扩张原理可以用截集的形式表示。 定理 3.4.1 设已知 f：XY， x |f (x) ，由扩张原理可得f：P (X) P (Y) 及 F (X) F (Y) ，f 1：P (Y) P (X) 及 F (Y) F (X) ， (1) 若 AF (X)，则 (2) 若 BF (Y)，
8、则,21,证明 (1) yY，有,22,23,下面来讨论扩张原理与 截集的相容性。 命题 设 0，1，B() P (X)，即 B() 是与 有关的 X 上的一个普通集合。如果 AF (X)，且则有 B() A 。,24,推论 模糊子集的 截集的象包含在模糊子集的象的 截集之中，即 f ( A ) f ( A) ， 0，1。 定理（Nguyen 定理） 对任意 0，1，f ( A ) f ( A) 的充分必要条件是：对任意 yY，存在 xf 1(y) 使得,25,3.4.3 多元扩张原理 1. 经典集的笛氏积定义 3.4.3 设 X1，X2，Xn 是 n 个经典集合，它们的笛卡尔( Descar
9、tes ) 积定义为 X1X2 Xn =(x1 , x2 , , xn )xiXi , 1in, 笛卡尔积 X1X2 Xn 又可记为,26,如用特征函数来表示笛卡尔 ( Descartes ) 积集，则有 x = (x1 , x2 , , xn ) X =,故有,27,2. 模糊集的笛氏积将上述特征函数推广成隶属函数，便可定义模糊集的笛氏积集。定义 3.4.4 设 AiF (Xi) ( i =1，2，n)， (x1 , x2 , , xn ) 则 A1A2An F ( X1X2Xn )，称 A1 A2An 为 A1, A2, , An 的笛氏积集, 记为,28,命题 3.4.2证明,29,所以
10、 同理可证 由命题 3.4.2 及分解定理立即可得 推论,30,3. 多元扩张原理 定义 3.4.5 设 f : X = X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym = Y, x=(x1, x2, , xn) f (x1, x2, , xn) = (y1, y2, , ym)=y。 那么，由 f 可诱导出映射,31,f : F (X1) F (X2) F (Xn) F ( Y1Y2 Ym ), ( A1, A2, , An ) f ( A1, A2, , An ) 其中 f ( A1, A2, , An ) 的隶属函数规定如下：,32,以及映射 f -1: F (Y1) F (Y2)F (Ym) F
11、( X1X2Xn ), ( B1, B2, , Bm ) f -1( B1, B2, , Bm ), 其中 f 1( B1, B2, , Bm ) 的隶属函数规定如下：,33,以上两个映射称多元扩张映射。参见图 3.28。,34,由定义 3.4.5、定义 3.4.2 及定义 3.4.4 立即可得f ( A1, A2, , An ) = f ( A1 A2 An )， f -1( B1, B2, , Bm ) = f -1( B1 B2 Bm )。,35,命题 3.4.3 设 f : X1 X2 Xn Y1 Y2 Ym，又设 f 与 f 1 是两个多元扩张映射，则有下述类似分解定理的形式：,36
12、,证明 只证 (1) 的第一个等式又由经典扩张原理有,37,故将 (3.4.12) 式代入 (3.4.11) 式即证得 (1) 的第一等式成立。其余等式类似可证。,38,二元扩张原理隶属函数形式： 设 f 是 X1 X2 到 Y 的映射， A1 ， A2 分别是 X1，X2 上的两个模糊集，则由 f 可以诱导出F (X1 ) F ( X2 ) 到 F (Y ) 的映射，仍记为 f f : F (X1 ) F ( X2 ) F (Y ), A1 A2 f ( A1 A2 ) = B 其隶属函数为，( y Y ),39,其隶属函数还可以表示为，（约定 = 0）( y Y ),40,二元扩张原理的截
13、集形式： 设 f 是 X1 X2 到 Y 的映射， A1，A2 分别是 X1，X2 上的两个模糊集，则由 f 可以诱导出 F (X1 ) F ( X2 ) 到 F (Y ) 的映射，仍记为 f f : F (X1 ) F ( X2 ) F (Y )， A1 A2 f ( A1 A2 ) = B，,41,4. 实数集 R上的二元运算“ * ”扩张成相应的模糊集运算,有了多元扩张原理，就可以把实数集 R 上的任意二元运算 “ * ” 扩张成 R 上模糊集间相应的运算。参见图 3.29。,42,43,设是实数域 R 上的二元运算，即 ： R R R ， (x , y) x y ， 根据二元扩张原理，
14、由这个映射可诱导出F (R) F (R) 到F (R) 的映射，即 ：F (R) F (R) F (R), (A , B ) AB, 其隶属函数为 ( A B )(z) = x y = z A(x) B(y)。,44,特别，当 为 ， 时， A B 分别为： zR ( A + B )(z) = x + y = z A(x) B(y)， ( AB )(z) = xy = z A(x) B(y)， ( A B )(z) = x y = z A(x) B(y)，( AB )(z) = x y = z A(x) B(y)， ( y0 ) ( A B )(z) = x y = z A(x) B(y)， ( A B )(z) = x y = z A(x) B(y)。,
