概率论第八章假设检验

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1、第八章假设检验,8.1 假设检验的基本思想8.2 正态总体未知参数的 假设检验8.3 单侧假设检验,上一章介绍了对总体中未知参数的估计方法。 本章将讨论统计推断的另一个重要方面统计假设检验。出于某种需要，对未知的或不完全明确的总体给出某些假设，用以说明总体可能具备的某种性质，这种假设称为统计假设。如正态分布的假设，总体均值的假设等。这个假设是否成立，还需要考察，这一过程称为假设检验，并最终作出判断，是接受假设还是拒绝假设。 本章主要介绍假设检验的基本思想和常用的检验方法，重点解决正态总体参数的假设检验 。,1假设检验的基本思想,一、 假设检验问题的提出,二、假设检验的基本思想,三、假设检验中两

2、类错误,统计推断的另一个重要问题是假设检验问题。在总体的分布函数未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设。例如，提出总体服从泊松分布的假设，又如，对于正态总体提出数学期望 0的假设等。,这里，先结合例子来说明假设检验的基本思想和做法。,假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断：是接受，还是拒绝。,例1 已知某炼铁厂的铁水含碳量X在某种工艺条件下服从正态分布N(4.55，0.1082)。现改变了工艺条件，测了五炉铁水，其含碳量分别为： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 根据以往的经验，总体的方差2= 0.1082一般不会改变。试问工

3、艺条件改变后，铁水含碳量的均值有无改变？,显然，这里需要解决的问题是，如何根据样本判断现在冶炼的铁水的含碳量是服从4.55的正态分布呢？还是与过去一样仍然服从 =4.55的正态分布呢？若是前者，可以认为新工艺对铁水的含碳量有显著的影响；若是后者，则认为新工艺对铁水的含碳量没有显著影响。通常，选择其中之一作为假设后，再利用样本检验假设的真伪。,例2 某自动车床生产了一批铁钉，现从该批铁钉中随机抽取了11根，测得长度(单位：mm)数据为： 10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64， 10.82， 10.49，10.38，10.59，10.54。试问铁钉的长度X是否服从

4、正态分布？,而在本例中，我们关心的问题是总体X是否服从正态分布。 如同例1那样，选择“是”或“否”作为假设，然后利用样本对假设的真伪作出判断。,以上两例都是实际问题中常见的假设检验问题。 我们把问题中涉及到的假设称为原假设或称待检假设，一般用H0表示。而把与原假设对立的断言称为备择假设，记为H1。 如例1，若原假设为H0：= 0=4.55，则备择假设为H1：4.55。 若例2的原假设为H0：X服从正态分布，则备择假设为H1：X不服从正态分布。,当然，在两个假设中用哪一个作为原假设，哪一个作为备择假设，视具体问题的题设和要求而定。 在许多问题中，当总体分布的类型已知时，只对其中一个或几个未知参数

5、作出假设，这类问题通常称之为参数假设检验，如例1。 而在有些问题中，当总体的分布完全不知或不确切知道，就需要对总体分布作出某种假设，这种问题称为分布假设检验，如例2。,接下来我们要做的事是：给出一个合理的法则，根据这一法则，利用巳知样本做出判断是接受假设H0 ，还是拒绝假设H0。,二、假设检验的基本思想,假设检验的一般提法是：在给定备择假设H1下，利用样本对原假设H0作出判断，若拒绝原假设H0，那就意味着接受备择假设H1，否则，就接受原假设H0。 换句话说，假设检验就是要在原假设H0和备择假设H1中作出拒绝哪一个和接受哪一个的判断。究竟如何作出判断呢？对一个统计假设进行检验的依据是所谓小概率原

6、理，即,概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生!,例如，在100件产品中，有一件次品，随机地从中取出一个产品是次品的事件就是小概率事件。 因为此事件发生的概率=0.01很小，因此，从中任意抽一件产品恰好是次品的事件可认为几乎不可能发生的，如果确实出现了次品，我们就有理由怀疑这“100件产品中只有一件次品”的真实性。 那么取值多少才算是小概率呢？这就要视实际问题的需要而定，一般取0.1，0.05，0.01等。,以例1为例：首先建立假设 ：,H0：=0=4.55，H1：4.55。,其次，从总体中作一随机抽样得到一样本观察值(x1，x2，xn)。,注意到 是的无偏估计量。因此，若H0正确，则,与

7、0的偏差一般不应太大，即,不应太大，若过分大，我们有理由怀疑H0的正确性而拒绝H0。由于,因此，考察,的大小等价于考察,的大小，哪么如何判断,是否偏大呢？,具体设想是，对给定的小正数，由于事件,是概率为的小概率事件，即,因此，当用样本值代入统计量,具体计算得到其观察值,统计量 称为检验统计量。,当检验统计量取某个区域C中的值时，就拒绝H0，则称C为H0的拒绝域，拒绝域的边界点称为临界值。如例1中拒绝域为 ，临界值为 和,若,即说明在一次抽样中，小概率事件居然发生了。,因此依据小概率原理，有理由拒绝H0，接受H1；,，则没有理由拒绝H0，只能接受H0。,若,将上述检验思想归纳起来，可得参数的假设

8、检验的一般步骤：,(1)根据所讨论的实际问题建立原假设H0及备择假设H1；,(2)选择合适的检验统计量Z，并明确其分布；,(3)对预先给定的小概率0，由P|Z|z/2= 确定临界值z/2 ；,(4)由样本值具体计算统计量Z的观察值z，并作出判断，若|z|z/2 ，则拒绝H0，接受H1；若|z| z/2 ，则接受H0。,现在，我们来解决例1提出的问题：,(1)假设H0：= 0=4.55，H1：4.55；,(2)选择检验用统计量,(3)对于给定小正数，如=0.05，查标准正态分表得到临界值z/2 =z0.025 =1.96；,因为| z|=3.91.96，所以拒绝H0，接受H1，即认为新工艺改变了

9、铁水的平均含碳量。,(4)具体计算：这里n=5，,故Z的观察值,三、假设检验中两类错误,第类错误，当原假设H0为真时，却作出拒绝H0的判断，通常称之为弃真错误，由于样本的随机性，犯这类错误的可能性是不可避免的。若将犯这一类错误的概率记为 ，则有P拒绝H0|H0为真=。,第类错误，当原假设H0不成立时，却作出接受H0的决定，这类错误称之为取伪错误，这类错误同样是不可避免的。若将犯这类错误的概率记为 ，则有P接受H0|H0为假= 。,自然，我们希望一个假设检验所作的判断犯这两类错误的概率都很小。事实上，在样本容量n固定的情况下，这一点是办不到的。因为当减小时，就增大；反之，当减小时，就增大。,那么

10、，如何处理这一问题呢？ 事实上，在处理实际问题中，一般地，对原假设H0，我们都是经过充分考虑的情况下建立的，或者认为犯弃真错误会造成严重的后果。,例如，原假设是前人工作的结晶，具有稳定性，从经验看，没有条件发生变化，是不会轻易被否定的，如果因犯第类错误而被否定，往往会造成很大的损失。 因此，在H0与H1之间，我们主观上往往倾向于保护H0，即H0确实成立时，作出拒绝H0的概率应是一个很小的正数，也就是将犯弃真错误的概率限制在事先给定的范围内，这类假设检验通常称为显著性假设检验，小正数称为检验水平或称显著性水平。,8.2 正态总体下未知参数的假设检验,一、单个正态总体情形,1均值的检验,原假设H0

11、： = 0，备择假设H1： 0。,(a)2已知,由上节的讨论可知，在H0成立的条件下，选用检验统计量,对给定的检验水平，查正态分布表得临界值z/2，再由样本值具体计算统计量Z的观察值z并与z/2比较 ，若|z|z/2 ，则拒绝H0，接受H1；若|z| z/2 ，则接受H0。这种检验法常称为Z检验法。,一、单个正态总体情形,例1 设某车床生产的钮扣的直径X服从正态分布，根据以往的经验，当车床工作正常时，生产的钮扣的平均直径0=26mm，方差2 =2.62。某天开机一段时间后，为检验车床工作是否正常，随机地从刚生产的钮扣中抽检了100粒，测得均值为26.56。假定方差没有什么变化。试分别在1=0.

12、05，2=0.01下，检验该车床工作是否正常？,由1=0.05及2=0.01，查正态分布表，得临界值z1/2 = z0.025=1.96，z2/2 = z0.005=2.58。而,解：原假设H0： = 0，备择假设H1： 0。,因此，| z |=2.151.96，但| z |=2.152.58，故在检验水平1=0.05下，应当拒绝H0，接受H1，即认为该天车床工作不正常；而在检验水平2=0.01下，应当接受H0，即认为该天车床工作是正常的。,上例说明：1）对于同一个问题，同一个样本，由于检验水平不一样，可能得出完全相反的结论。因此，在实际应用中，如何合理地选择检验水平是非常重要的。,(b) 2

13、未知,由于2未知，因此，不能用Z作为检验统计量，但注意到样本方差,是2的无偏估计量，因此，我们自然会想到用s2代替2，而在第六章的定理3也已经证明，在H0成立的条件下，统计量,于是，对给定的显著性水平0，查t分布表可得临界值t/2，使P|t| t/2=成立。再由样本值具体计算统计量T的观察值t，并与t/2比较，若| t |t/2，则拒绝H0，接受H1；若| t |t/2，则接受H0。这种检验法也称为t 检验法。,例2 某厂利用某种钢生产钢筋，根据长期资料的分析，知道这种钢筋强度X服从正态分布，今随机抽取六根钢筋进行强度试验，测得强度X(单位：kg/mm2)为 48.5，49.0，53.5，56

14、.0，52.5，49.5。试问：能否据此认为这种钢筋的平均强度为52.0 kg/mm2(=0.05)?,解 设XN(，2)，,依题意建立假设H0： = 0，H1： 0。,这里2未知，故在H0成立的条件下应选取检验统计量,由已知 =0.05，查t分布表得临界值 t/2 =t0.025(61)=2.571。,又由样本值算得,因为，| t |0.412.571，故接受H0，即可以认为这种钢筋的平均强度为52.0 kg/mm2。,2方差的检验,设总体XN(，2)，均未知，(X1，X2，Xn)来自总体X的样本，要求进行的检验(设显著性水平为0)为,原假设H0： = ，备择假设H1： 。,是 的无偏估计量，因此由第六章的定理3知当H0为真时，统计量,因此对给定检验水平 0，由2分布表求得临界值 (n1)及 (n1)使,再由样本值(x1, x2, , xn)具体计算统计量2的观察值,判断：,这种检验法称为2检验法。,例4 某种电子元件的寿命(单位：h) XN (，2)，其中，2未知。现检测了16只电子元件，其寿命如下： 159，280，101，212，224，279，179，264， 222，362，168，250，149，260，485，170。试问元件寿命的方差2是否等于1002(=0.05)？,解 依题意，假设H0：2=1002，H1：21002，选取检验统计量,