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1、,概率论与数理统计 第八讲,北京工业大学应用数理学院,第三章 随机向量,有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。,3. 导弹在空中位置坐标 (X, Y, Z)。,1. 某人体检数据血压X和心律Y；,例如：,2. 钢的基本指标含碳量 X，含硫量 Y和硬度 Z ；,一般地, 将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1, X2 , , Xn 放在一起，记成 (X1, X2 , , Xn )，称 n 维随机向量 (或变量)。,由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。,3.1 二维随机向量及其分布函数,设试验E的样本空间为，X=X
2、()与Y= Y()是定义在上的两个随机变量, 由它们构成的向量 (X, Y) 称为二维随机向量。二维随机向量(X, Y)的性质不仅与X 和Y 的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互关系。因此，必须把(X, Y)作为一个整体来看待，加以研究。为此，首先引入二维随机向量(X, Y)的分布函数的概念。,定义二维随机向量(X, Y) 的联合分布函数为,取定x0,y0R =(-,), F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。,如果将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标。,由上面的几何解释， 易见: 随机点(X, Y)落在矩形区域: x
3、1xx2, y1yy2 内的概率为,Px1Xx2 , y1Yy2 =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1).,说明,二维分布函数 F(x, y)的三条基本性质 (1).F(x, y)是变量 x,y 的非减函数；即 yR 给定，当 x1 x2 时，F(x1, y)F(x2, y).同样, xR 给定，当y1y2时,F(x, y1)F(x, y2).,(2).x, yR, 有 0F(x, y)1；,(3). yR, F(-, y)=0， xR, F(x, -)=0， F(-, -)=0，F(, )=1.,其中,3.2 二维离散型随机向量,如果随机向量 (X
4、, Y) 的每个分量都是离散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随机向量。二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。,离散型随机变量X 的概率分布:,离散型随机向量 (X, Y) 的联合概 率分布:,联合概率分布也可以用表格表示。表3.2.1,二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数,设二维离散型随机向量 (X, Y) 的联合概率分布为pij， i=1, 2, , j=1, 2, . 于是, (X, Y) 的联合分布函数为,例1：设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。 令:X=1：若第一次取到的产品是次品，
5、X=0：若第一次取到的产品是正品，Y=1：若第二次取到的产品是次品，Y=0：若第二次取到的产品是正品。 求: 二维随机向量(X, Y)的概率分布。,解：(X,Y)所有可能取的值是： (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。,PX=0,Y=0=P第一次取正品,第二次取正品, 利用古典概型，得：PX=0,Y=0=(76)/(109)=7/15。 同理，得PX=0,Y=1=(73)/(109)=7/30,PX=1,Y=0=(37)/(109)=7/30,PX=1,Y=1=(32)/(109)=1/15。,例2：为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表
6、之中。,X=1若被调查者不吸烟， X=0若被调查者吸烟， Y=1若被调查者未患肺癌， Y=0若被调查者患肺癌。,从表中各种情况出现的次数，计算各种情况出现的频率，就产生了二维随机向量(X,Y)的概率分布:PX=0,Y=03/23000=0.00013, PX=1,Y=01/23000=0.00004, PX=0,Y=14597/23000=0.19987, PX=1,Y=118399/23000=0.79996。,3.3.1 概率密度,设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y, 有,则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x
7、,y)为(X,Y)的 概率密度函数, 简称概率密度。.,3.3 二维连续型随机向量,连续型随机变量X 的概率密度:,连续型随机向量 (X,Y) 的联合概 率密度:,对连续型随机向量 (X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：,在 f (x, y)的连续点；,解: (1). 由,例 1：设(X,Y)的联合概率密度为,其中A是常数。 (1).求常数A； (2).求(X,Y)的分布函数； (3).计算 P0X4, 0Y5。,(3). P0X4, 0Y5,3.3.2 均匀分布,定义: 设D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为:,则称(X,Y)为服从 D上的均匀分
8、布。,(X,Y)落在 D中某一区域A内的概率 P(X,Y) A,与 A 的面积成正比，而与A的位置和形状无关。,P(X, Y)A=A的面积/d.,解:,例2：设(X, Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布， 计算P(X,Y)A，这里 A是中阴影部分的区域。,圆域 x2+y24面积 d=4；区域A是x=0, y=0 和 x+y=1 三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域x2+y24 之内，面积=0.5。 故， P(X,Y)A=0.5/4=1/8。,若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度,3.3.3 二维正态分布,正态分布(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)满足:,(1).,(2).,小结,本讲介绍了二维随机向量的基本概念，包 括联合分布函数及其性质，二维离散型随机向 量的联合概率分布及其性质，二维连续型随机 向量的概率密度及其性质；此外，还介绍二维 均匀分布和二维正态分布等。,
