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1、第三章 多维随机变量,第一节 二维随机变量及其分布,第二节 边缘分布,*第三节 条件分布,第四节 随机变量的独立性,第五节 两个随机变量函数的分布,1、二维随机变量的定义及其分布函数,定义3.1 设E是一个随机试验，它的样本空间是=e.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e)为上的二维随机变量或二维随机向量。简记为(X,Y).,定义3.2 设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=PXx，Yy 为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。,第一节 二维随机变量及其分布,(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：,(2)
2、0F(x,y)1,(1)F(x,y)是变量x,y的不减函数.,（4）,2、二维离散型随机变量,定义3.3 若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。,设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2, ，且(X,Y)取各对可能值的概率为PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2,(1) 非负性: pij0，i，j=1，2；,例3.2 设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律.,解 由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知X=i，Y=j的取值情况是
3、：i=1，2，3，4，j取不大于i的正整数，且,于是（X，Y）的分布律如下表,3 、二维连续型随机变量,定义3.4 设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有,设G是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X.,Y)的概率密度为,设(X,Y)在区域G上服从均匀分布,D为G内的一区域,即 DG,且D的面积为S(D),那么,二维均匀分布,则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.,若(X.,Y)的概率密度为,二维正态分布,例3.3 设（X，Y）在圆域x2+y24上服从均匀分布，求（1） （X，Y）的概率密度；（2） P0
4、X1，0Y1.,解 （1） 圆域x2+y24的面积A=4，故（X，Y）的概率密度为,（2） G为不等式0x1，0y1所确定的区域，所以,例3.4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,(1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数； （3）求PXY.,解 （1）由性质有,(2) 由定义有,(3),X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x), FY(y)。当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过,求得两个边缘分布函数,第二节 边缘分布,1、二维离散型随机变量的边缘分布,解 （1）采取有放回摸球时，（X，Y）的联合分布与边缘分布由表
5、3-4给出.,(2) 采取无放回摸球时，（X，Y）的联合分布与边缘分布由表3-5给出.,表3-4,表3-5,2、二维连续型随机变量的边缘分布,例,解,同理：,解,当 时，,当 或 时，,即,当 时，,当 或 时，,即,X 与Y 相互独立,充要条件：,设X及Y为离散型随机变量，则,4 随机变量的独立性,一、离散型随机变量的独立性,定义1,则称X及Y是独立的.,由独立事件的概率乘法定理，有,解,X与 Y相互独立,X 与 Y 相互独立,定义2,充要条件：,设 X及 Y为连续型随机变量，,二、连续随机变量的独立性,例3.13 设（X，Y）在圆域x2+y21上服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？,解 （
6、X，Y）的联合分布密度为,由此可得,可见在圆域x2+y21上，f（x，y）fX(x)fY(y),故X和Y不相互独立.,第五节 两个随机变量函数的分布,1、二维离散型随机变量函数的分布律,例3.15 设（X，Y）的分布律如下表所示，求Z=X+Y和Z=XY的分布律.,上一页,下一页,返回,解 先列出下表,上一页,下一页,返回,从表中看出Z=X+Y可能取值为-2，0，1，3，4，且 PZ=-2=PX+Y=-2=PX=-1，Y=-1=5/20； PZ=0=PX+Y=0=PX=-1，Y=1=2/20；PZ=1=PX+Y=1=PX=-1，Y=2+PX=2，Y=-1=6/20+3/20=9/20；,PZ=3
7、=PX+Y=3=PX=2，Y=1=3/20； PZ=4=PX+Y=4=PX=2，Y=2=1/20.,设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)， 又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。,为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数,2、二维连续型随机变量函数的分布,即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通过 求出Z的概率密度 。,求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为用(X,Y)表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其中 。,设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令 ，则Z
8、的分布函数为,(1)和的分布,固定z和y对积分 作换元法，令x+y=u得,于是：,由概率密度定义，即得Z的概率密度为,由X与Y的对称性，又可得,当X与Y相互独立时，有,其中 分别是X和Y的密度函数。,例3.17 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N（0，1）分布，求Z=X+Y的概率分布密度.,解 由题设知X，Y的分布密度分别为,由卷积公式知,即Z服从N（0，2）分布.,结论：有限个相互独立的服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布。,解,再求仪器使用寿命Z 的分布函数,Z 的分布函数为,进而,的分布函数为,例3.22设 且X与Y相互 独立，求 的概率密度。,由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为,先求Z的分布函数FZ(z),解 ： X和Y的概率密度分别为,当z0时 FZ(z)=0,当z0时,所以,于是可得 的概率密度,
