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1、计算机辅助船舶设计,船舶工程学院船舶工程系 于昌利,2,第4章 最优化方法,4.1最优化设计的基本概念对于一项工程设计问题,大多数都有好几个解,有的甚至于有无限多个解。最优化设计的目的，就是对于一个给定的设计问题，在一定的条件下，按照某种技术的和经济的准则，找出它的最佳的设计方案。,3,第4章 最优化方法,优化设计最基本思想：满足各种设计要求下，选择一个参数的组合方案，且使它的设计指标达到最小值（有时最大值）。在一项工程设计中，可以由人选择的设计因素称为设计变量。设计变量的限制称为约束条件。在满足技术要求的前提下，假设我们的“愿望”的函数称为目标函数。设计变量、约束条件、目标函数构成优化设计的
2、三要素。,4,第4章 最优化方法,求解这个问题的最基本的方法是用计算机的数值计算按最优化的搜索策略来查找。这与传统的设计方法相比，具有如下三个特点：,5,第4章 最优化方法,1.需要建立一个能正确反映设计问题的数学模型,它的一般表达为:求设计变量:X=(x1,x2,xn) 使目标函数:F(X)= F(x1,x2,xn)minF(X) 而受约束于:,(i = 1，2，m；j = 1，2，pn) (4.1),6,第4章 最优化方法,2.采用数值计算的优化方法,多数是用一种函数的下降算法，即F(Xk)F(Xk+aSk) (k=0,1,2,) 并保证设计方案Xk (k =0,1,2,)始终在有约束条件
3、限制的区域内。3.整个计算是利用计算机自动进行，选出“最优方案。,7,第4章 最优化方法,很多实际设计问题所形成的数学模型性质是各不相同的,因而求解问题的优化方法也各不相同。在实际应用中证明,功能最好的优化方法也不能完全适应各种问题的解法。不同的问题要用不同的方法求解,恰当的优化方法才能得到问题的满意解。由于实际问题繁多，优化问题可作如下的分类：,8,第4章 最优化方法,（1）根据是否存在约束条件，优化问题可分成有约束（条件极值）问题和无约束（无条件极值）问题两种。（2）根据设计变量的性质,优化问题可分为静态和动态两种。在动态问题中,设计变量本身又是其它变量的函数,在静态问题中,设计变量只是变
4、量而不是函数。（3）根据目标函数和约束条件表达式的性质，优化问题可分为线性规划和非线性规划等。,9,第4章 最优化方法,由于船舶优化设计问题的复杂性,约束函数与目标函数大都不具有连续可微的性质,而且是非线性的,因此主要介绍非线性中的一些常用的优化方法。,10,第4章 最优化方法,单变量函数,罚函数 拉格朗日乘子法,多变量函数,无约束,非线性规则,变量轮换法 一阶梯度法 共轭梯度法 单纯形法,有约束,等式约束,消去法 多项式法,罚函数法 内、外点混合法 可行方向法,不等式约束,11,4.2单变量函数的寻优方法(一维搜索）,如果我们获得了目标函数f(X)在当前迭代点Xk处的下降方向Pk,沿着Pk方
5、向移动迭代点,使目标函数值下降,这一动作称为一维搜索。一维搜索就是求解单变量函数的极小问题。对于许多多变量函数的非线性规划问题，往往归结为解一系列单变量的寻优方法成为解非线性规划最基本方法。,12,4.2单变量函数的寻优方法(一维搜索）,1.消去法消去法的基本思路是:逐步缩小搜索的区间,直至最小点存在的范围达到允许的误差范围为止。搜索的方法很多，介绍常用的一种方法为黄金分割法（0.618法)。(1)设初始区间为a0,b0,第一区间缩短要取两点,x1,x2,计算f(x1)与f(x2),并进行比较。,13,4.2单变量函数的寻优方法(一维搜索）,(2)每缩短一次区间,判断一下是否满足:,式中: b
6、-a现时求得的区间；b0-a0初始区间；给定区间缩短的精度。若不满足式(4.2),则再进行缩短区间,直至 满足要求为止。(3)比较最后求得的两函数值,确定最后的区间,最小点及函数的最小值。,14,15,4.2单变量函数的寻优方法,2.多项式近似法的寻优方法多项式近似法是用一个多项式来拟合目标函数，即在寻求目标函数极小点的区间上，可以利用在若干点处的函数值来拟合目标函数来构成低次插值多项式，并用这个多项式的极小点作为目标函数极小点的近似值。,16,假定目标函数f(x)在三点x1x2x3函数值分别为f1,f2和f3 。可以利用这三点及相应的函数值作二次插值公式，即令(4.3) 为所需要的插值多项式
7、,它应满足条件:,4.2单变量函数的寻优方法,(4.4),17,4.2单变量函数的寻优方法,对多项式(4.3)求导数并令其为零得 P(x) = a1+2a2x = 0,式(4.5)就是计算近似极小点,只需要算出a1和a2 。a1和a2通过方程组(4.4)式中消去a0就可联立解出。即：,18,4.2单变量函数的寻优方法,把(4.6)代入(4.5)中得极值点xm的计算公式,即,19,4.2单变量函数的寻优方法,xm即为近似最优点,一般来说, xm处的函数值fm会比f1， f2， f3都好。 若x1， x2，x3三个点是等距的，即：x3 - x2 = x2 - x1= h 则式(4.7)可简化为xm
8、= x2+ h(f1 f2) / 2(f3+ f1 - 2f2) (4.8)由于二次多项式仅是目标函数近似描述,不能指望一次近似就能得到函数的最优值。必须在xm附近重复以上的步骤，直至满足某个给定的精度要求时为止。,20,在当前迭代点Xk处，如果 ，则有一个最明显的下降方向 ，由此形成的方法称为梯度法。一阶梯度法，从起始点就按照一个有利的方向搜索，这个方向称作梯度方向，在这个方向寻找最佳步长，一步一步逼近最优点。这个方法虽然较变量轮换法有所改进，但也需要多次迭代，并且越接近最优点，步长越来越小，目标函数值的改进越微。,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,21,4.3无约束条件下多变量函数的
9、寻优方法,人们发现相邻两次迭代产生的轨迹总是互相垂直，即Pk-1Pk（k=1,2,)。这种锯齿形的轨迹使一阶梯度法效率低下。对于两个变量的正定二次函数常用共轭梯度法。1.共轭梯度法(1)等高线概念以水平面在不同的高度切割物体，平面与物体的交线投影到同一平面上，这些线就称为等高线。,22,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,这一系列平面可以用函数来表达：f(x,y)=Z。如果f(x,y)本身就是一个二次函数,那么在数学上就可证明,这组等高线近于一个共心椭圆族。而极值点正好就是这个椭圆的共同中心。因此，求函数的极值点的问题实际上也就是求等高线的共同中心的问题。,23,为高阶小量可忽略。用向量和
10、矩阵来表示，则上式可简写为,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,(2)梯度的概念根据一元函数的泰勒级数展开的方法，可对多元函数进行泰勒级数展开，其展开式为,24,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,是函数f(X)在点X0处的一阶偏导数 称为梯度。,25,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,X表示向量X与X0的差，而A为nn对称矩阵，即：,A是f(x)在X0点处的二阶偏导矩阵,也称为赫森 (Hession)矩阵,26,对于任何形式的目标函数f(X),若将它在极值点X*附近展开称泰勒级数, 且,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,式中:Af(X)在X*处二阶偏导数矩阵，即赫森矩阵。
11、因为在极值点X*处， ，故,27,其中X为n维向量。X(0)为任意给定的起始点。 P(0)、P(1)、 、 P(i)为i次迭代中要寻求的对A 的共轭方向， X(1)、X(2)、 、 X(i+1)依次为沿 这些方向求得的近似极小点。因此有,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,(3)共轭方向的计算设目标函数为n元的二次函数：,28,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,其中最优步长h(i)满足f (X(i+1) ) = f (X (i) +h(i) P (i) ) = min f (X(i) +hP (i) ) (5.12)当然对X(i+1)也有G (i+1) = b +AX(i+1) (4
12、.13) 将式5.13与5.10相减,并将式5.11代入得:G (i+1)- G (i) = A( X(i+1)- X(i) ) = h(i) AP (i) (4.14) 根据共轭的定义,应有P (i) T AX( j ) = 0 (i , j=0,1,2, ij) (4.15),29,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,利用多元函数Taylor展开的矩阵表达式来推导,对h求一阶导数,则,30,4.3无约束条件下多变量函数的寻优方法,令 ,则可求出最优步长h,31,4.4等式约束条件下多变量函数的寻优方法,很多实际中的问题，其变量的取值都有一定的限制。约束条件可分为两类：等式约束与不等式约
13、束。本节主要介绍较有代表性的等式约束条件下约束的多变量函数的寻优方法。一、等式约束下的消元法设目标函数f (X)为凸函数，X = T (x1，x2) ，约束条件为g (X) = 0，求最小值。,32,如果能把g(X) = 0改写为x1=h(x2)时，就可代入f (X)中消取x1，使成为无约束的且只有一个变量的函数f1(x2)的寻优问题。于是，只有对f1(x2)求极小，即得原问题的解。 例 设目标函数为,4.4等式约束条件下多变量函数的寻优方法,而等式约束条件为:,33,令f1(x2)为单变量函数，求其极值，有,4.4等式约束条件下多变量函数的寻优方法,将g(X) = 0，即式4.25改写为x1
14、= 8 - x2 (4.26) 将4.26代入4.24，消取x1化简得：,故得最优解为：,34,4.4等式约束条件下多变量函数的寻优方法,对于一般的几元函数来说，目标函数为 S = f (X) = f (x1，x2，xn) (4.28) 式中： Xn维向量 X = (x1，x2，xn)T 等式约束条件为 gk(X) = gk(x1, x2, , xn) = 0 （k=1,2,m) (4.29) 其中，k为等式约束的序号，共有m个等式约束。 如果能把gk(x1，x2，xn) = 0改写为 xk= hk(xm+1, xm+2, , xn) = 0 （k=1,2,m) (4.30),35,4.4等式
15、约束条件下多变量函数的寻优方法,则将式(4.30)代(4.28)中,化简后可得到新的目标函数f1(xp),其中p = m+1, m+2, , n。这样就改造成为p = n-m个独立变量的无约束的寻优问题。,36,4.5不等式约束条件下多变量函数的寻优方法,通过建立一个新的函数罚函数而把有约束的问题化为一系列无约束的问题来处理的方法。由于选择的惩罚函数的形式不同，又可分为几种方法。下面介绍较为常用的外点法和内点法。一、外点法设目标函数S = f (X)，在不等式约束： gi(X) 0，（i=1, 2, , m)条件下,求极小值。外点法中用作变换的罚函数为:,37,其中： 。惩法项中：,4.5不等式约束条件下多变量函数的寻优方法,对罚函数T(X,Mk)求无约束的条件极值，其结果将随给定的罚因子Mk值而异。,38,4.5不等式约束条件下多变量函数的寻优方法,可以把罚函数T(X,Mk)无约束极值问题的最优解Xk=X(Mk)看作是以Mk的参数的一条轨迹,当取时,点列X(Mk)沿着这条轨迹趋于条件极值的最优解。外点法是从可行域的外部逼近最优解的。,
