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1、2-1,第二章,第二章,参数估计,参数估计,2-1,通过子样对总体未知参数进行估计,内 容,参数的点估计,参数的区间估计,点估计的评判标准,什么是参数估计？,参数是刻画总体某方面概率特性的数量.,当此数量未知时,从总体抽出一个子样， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.,例如，X N ( , 2),若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容.,参数估计的类型,点估计 估计未知参数的值,区间估计 估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值.,2.1 点估计方法,2-5,2.1点估计,常用的点估计方法介绍,频率替换法,
2、利用事件A 在 n 次试验中发生的频率,作为事件A 发生的概率 p 的估计量,解 由,查表得,于是 的估计值为,2-8,例1,方 法,用子样 k 阶原点矩作为总体 k 阶原 点矩的估计量, 建立含有待估参数 的方程, 从而解出待估参数,2-9,一般, 不论总体服从什么分布, 总体期望 与方差 2 存在, 则它们的矩估计量分别为,矩法,矩法,2-10,事实上，按矩法原理，令,例2 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050, 1100, 1080, 1120, 12001250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该天生产的灯泡的
3、平均寿命 及寿命分布的方差.,解,7-14,例2,例3 设总体 X E(), X1, X2, Xn为总体的样本, 求 的矩法估计量.,解,令,7-13,故,例34,例4 设总体 X U (a, b), a, b 未知, 求参数a, b 的 矩法估计量.,解,由于,令,解得,例5 设总体 X ,解,7-15,例5, 其密度函数为,求 和 的矩估计量.,令,令,7-16,解得,2-11,一般, 设待估计的参数为,总体的 r 阶矩记为,子样 X1, X2, Xn 的 r 阶矩为,令,解上述方程组 , 得 k 个统计量：,未知参数1, ,k的矩估计量,矩法小结,最大似然估计法,思想方法：一次试验就出现
4、的 事件有较大的概率,例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球一箱 99个白球 1 个红球一箱 1 个白球 99个红球,现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球.,答: 第一箱.,7-17,问: 所取的球来自哪一箱？,最大似然法,例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用最大似然法求 p 的估计值.,解,总体 X 的概率分布为,设 x1, x2, xn为总体样本X1, X2, Xn 的样本值,则,7-18,例6,对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图,现经过一次试验，,发生了，,事件,7-19,在容许范围内选择 p ，使L(p)最大,注
5、意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若 某个p 使ln L(p)最大, 则这个p 必使L(p)最大。,7-20,所以,为所求 p 的估计值.,一般, 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为,则样本 X1, X2, Xn的概率分布为,7-21,或,称 L( ) 为样本的似然函数,称这样得到的,为参数 的极大似然估计值,称统计量,为参数 的极大似然估计量,7-22,最大似然法的思想,若 X 连续, 取 f (xi, )为Xi 的密度函数,似然函数为,7-23,注1,注2,未知参数可以不止一个, 如1, k,设X 的密度(或分布)为,则定义似然函数为,若,关于1, , k可微,则称,为似然方
6、程组,若对于某组给定的样本值 x1, x2, xn， 参数 使似然函数取得最大值, 即,则称,为1, k 的极大似然估计值,7-24,例7 设总体 X N (, 2), x1, x2, xn 是 X的样本值, 求 , 2 的极大似然估计.,解,7-26,例7, 2 的最大似然估计量分别为,似然 方程 组为,7-27,最大似然估计步骤,1） 写出似然函数 L,2）求出, 使得,7-28,可得未知参数的最大似然估计值,若 L可微, 解似然方程组,若 L不可微, 需用其它方法求最大似然估计值. 请看下例：,步骤,例8 设 X U (a,b), x1, x2, xn 是 X 的一个 样本值, 求 a
7、, b 的极大似然估计值与极大 似然估计量.,解,X 的密度函数为,似然函数为,7-30,例8,似然函数只有当 a xi b, i = 1,2, n 时 才能获得最大值, 且 a 越大, b 越小, L 越大.,令,xmin = min x1, x2, xn xmax = max x1, x2, xn,取,则对满足,的一切 a b ,7-31,都有,故,是 a , b 的极大似然估计值.,分别是 a , b 的极大似然估计量.,7-32,问 题,1) 待估参数的极大似然估计是否一定存在?,2) 若存在, 是否惟一?,设 X U ( a , a + ), x1, x2, xn 是 X的一个样本,
8、 求 a 的极大似然估计值.,解,由上例可知, 当,时, L 取最大值 1, 即,显然, a 的极大似然估计值可能不存在, 也 可能不惟一.,7-33,例9,例9,不仅如此, 任何一个统计量,若满足,都可以作为 a 的估计量.,7-34,极大似然估计的不变性,设 是 的极大似然估计值, u( ),( )是 的函数, 且有单值反函数, = (u), uU 则 是 u( ) 的极大似然估计值.,7-35,不变性,如 在正态总体N (, 2)中, 2的极大似然估计值为,是 2的单值函数, 且具有单值,反函数，故 的极大似然估计值为,lg 的极大似然估计值为,7-36,特殊方法,（对正态总体参数的特殊
9、估计）,用子样中位数作为总体期望的估计,用子样极差的函数作为总体均方差的估计,特殊法,值查表2-1（P.41）,设,若,是,的中位数, 则对任意,有,近似,即当 较大时，,近似,所以，,当 较大时可取,设总体,为子样极差，则,由上可见：,估计,产生平均平方,误差为,用,标准差为,其,系数,可查表 2-1（P.41）,当,时, 将子样数据等分成若干组, 每,组数据不超过10个, 取各组极差的平均,然后用,估计,查 时，,取每一组中数据的个数.,例10 设一批机器零件毛坯的重量服从正态分布,随机抽取10件,得子样(单位kg):210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 2
10、35, 200, 199,解,将子样由小到大重排,例10,用不同方法估计总体的参数值.,其中,误差,误差,查表 2-1,例11,某班50名学生概率考试成绩如下：,75 65 80 81 92 63 77 79 54 98,85 72 66 84 83 60 82 78 64 90,81 78 76 86 68 76 73 71 88 87,65 57 46 89 78 66 87 79 84 78,96 88 67 38 67 75 83 82 68 85,例11,若认为学生成绩总体,试用,特殊方法估计总体的参数值.,解,1 75 65 80 81 92 63 77 79 54 98,2 85 72 66 84 83 60 82 78 64 90,3 81 78 76 86 68 76 73 71 88 87,4 65 57 46 89 78 66 87 79 84 78,5 96 88 67 38 67 75 83 82 68 85,44,30,20,43,58,将数据等分为5组.,一般矩法,与最大似,然法优于,特殊方法,7-39,习题,作业 P.76 第二章,4 6 8 10,
