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1、红楼梦研究20121211a,概率论与数理统计辅导,王晓谦,红楼梦研究20121211a,引言 数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。在自然科学、技术科学、经济科学、社会科学的应用不断深入。与计算机的结合，使以前只有理论而无法计算的内容找到了广阔的应用领域。 概率和统计具有不同于其他数学分支的思维方式。我们在教学实践中既要体会概率和统计思想与其他数学思想的不同，但也必须注意到它们与其他数学分支之间的密切关系。要培养利用概率、统计的思想思考、处理问题的能力。,红楼梦研究20121211a,第一部分 概率第一节 随机事件及其概率A. 随机现象与随机事件,概率论就是研究随机现象的数学分支
2、。,红楼梦研究20121211a,研究随机现象的第一步：定义事件 在给定条件下，可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，这就是随机现象。 特点：一个随机现象，我们知道所有可能的结果有哪些，但是在条件没有实现之前，无法判断会出现哪个结果。随机事件：我们把在给定条件实现之后，可以判断是否发生的结果叫做随机事件，用大些英文字母表示。,红楼梦研究20121211a,例如，研究某个射击运动员的射击水平。 在正常条件下，他射出一发子弹，落点会是随机的，都有哪些随机事件呢？无穷多个随机事件：A:十环 B:九环，E:没有脱靶，F:脱靶，等等等等，这些都是可能发生的结果，都是随机事件。 只要实现一次条件，即在
3、正常条件下，他射出一发子弹，哪个事件发生，哪个没有发生，一目了然。,红楼梦研究20121211a,两个特例： 不可能事件：用字母表示。 例如上面例子里，“既没有脱靶，也没有上靶”这个事件就是不可能事件。 必然事件：用字母表示。 例如上面例子里，“脱靶或没有脱靶”就是一个必然事件。,红楼梦研究20121211a,红楼梦研究20121211a,B. 事件的概率 事件的概率就是刻划该事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标。设A是一个事件，用P(A)表示这个事件的概率。 概率的第一个基本性质：对于任意事件A，,这是一种要求！,红楼梦研究20121211a,例：七个有变异的豌豆特征（P89） 子的形
4、状，子的颜色，豆荚的形状，豆荚外衣的颜色，未成熟豆荚的颜色，花的位置，豆梗的长度 孟德尔把绿色豌豆与黄色豌豆杂交，结果下一代都是黄色豌豆。 对其他六个特征做试验，也有类似的结果。 我们把这一代叫做杂交第一子代，简称为子一代。问题是，用它们作为种子，下一代会怎样呢？这是中学教师孟德尔的问题，这个问题的解决让他名崔青史。（18221884）,红楼梦研究20121211a,孟德尔把杂交黄色豌豆作为第一子代F1，培育出第二子代F2。在第二子代中豌豆会是什么颜色的呢？他提出了一种遗传学理论，用这个理论来预测第二子代的颜色。他的预言是： 75%的黄色豌豆 25%绿色豌豆即两者比例为3：1。,红楼梦研究20
5、121211a,【用G代表绿色基因，Y代表黄色基因，则第一子代F1可表示为YG。 这样的豌豆自由杂交，在第二子代F2中会出现四种情况：YY,YG,GY,GG。每种情况出现的机会均等。其中 黄色：YY,YG,GY； 绿色：GG所以黄色豌豆与绿色豌豆数量的比例应该是3：1。】 课本上89页表7-1-1的数据就是试验观测结果。这里用的是频率估计概率的思想。,红楼梦研究20121211a,我们不知道当初老孟是先有的数据还是先做的理论分析。不过大多数人相信是 1、先做的试验， 2、然后利用观测到的现象（概率统计思想）提 出大胆的理论， 3、利用提出的理论对观测结果作出解释， 4、再利用理论作预测， 5、
6、然后通过试验验证理论预测的可靠性。这是科学研究的一种基本方法。,红楼梦研究20121211a,为了估计事件A发生的概率，我们在相同条件下进行重复试验，记录试验次数n和事件A发生的次数m，然后用事件A在这n次试验中发生的频率作为事件A发生的概率的估计值,求概率之基本方法试验法。有误差。,红楼梦研究20121211a,概率的第二个基本性质 ：,这不是公式，是一种规范化要求。,红楼梦研究20121211a,第二节 古典概型 试验或观测只有有限多种可能的基本结果，这些结果具有以下特点： （1）、这些可能结果有限多个；（2）、每次试验，这些结果中必有一个会发生，而且 只有一个会发生；（3）、每个结果的发
7、生是等可能的。 满足前两条的结果叫基本事件。假设共有n个基本事件。如果还满足第三条的话，这样的随机现象的概率计算模型就叫做古典概型。,红楼梦研究20121211a,古典概型里，每个基本事件的概率都是,.,如果事件A的发生等价于m个基本事件之一发生，那么事件A发生的概率就是,红楼梦研究20121211a,第三节 几何概型 试验或观测有无限多种可能的基本结果，这些结果具有以下特点：（1）、这些可能结果有无限多个；（2）、每次试验，这些结果中必有一个会发生，而且 只有一个会发生；（3）、每个结果的发生是等可能的。这样的随机现象的概率计算模型就叫做几何概型。,红楼梦研究20121211a,方程有实根的
8、概率是多少？,例一、方程,中的系数,分别在,区间随机取值，那么这个,解：我们把,放到一起考虑,，那么任取,中的,两个值作为,矩形区域 S 中任取一个点，把横坐标作为,，可以看作是在平面直角坐标系中,，纵坐,。,坐标作为,红楼梦研究20121211a,方程有实根等价于,这等价于要求点必须取在区域A中。所以,红楼梦研究20121211a,例二、怎样求一个不规则图形的面积？ 做正方形S，随机向图中投点，计算落在A中的点的频率，A的面积的近似值就是该频率与S的面积的乘积。,红楼梦研究20121211a,例三 贝特朗奇论 在圆内任取一弦，问其长度超过内接等边三角形 边长的概率是多少？ 贝特朗给出了三中求
9、解方法。,设该圆半径为,则内接等边三角形边长为,记弦的长度为,红楼梦研究20121211a,（1）、由于弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因而可假定弦垂直于某直径EF。如图所示：,当且仅当弦AB与圆形的距离小于,时，有,所以所求概率为,红楼梦研究20121211a,(2)、弦长由其中点唯一确定。当且仅当弦的中点落到半径为,的同心圆内时，弦长,所以，如图所示，,所求概率为,红楼梦研究20121211a,（3）、因为任何弦都交圆于两点，并且具有对称性，所以不妨固定弦的一端A于圆周上，另一端在圆周上任意取。如图，考虑等边三角形ADE，如B落在角A所对应的弧,上，则弦长,所以所求概率为,红楼梦
10、研究20121211a,第四节 互斥事件与概率两个事件互斥 一组事件是互斥的 设是A,B是两个互斥事件，我们用 A+B表示一个新的事件，即“A,B中至少有一件发生”这个事件。,红楼梦研究20121211a,是一组互斥事件，那么,中至少有一个发生这个事件。,表示,概率的第三个基本性质要求,红楼梦研究20121211a,例如，,表示某射击运动员打中k环这个事件，k=1，2，10. 那么它们是10个互斥事件。如果知道每个事件的概率，我们就可以算出许多其它事件的概率。例如打到8环以内这样的事件的概率。,例如，,红楼梦研究20121211a,对立事件：如果两个事件互斥，而且每次试验或观测两个事件中必有一
11、个发生，那么这两个事件就叫做一对对立事件。如果用A表示其中的一个事件，另一个就用,来表示。显然,所以,或等价地,红楼梦研究20121211a,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。解法一、用A表示“500人中至少有一人生日在今天”，用,表示“500人中恰有k人生日在今天”，k=0，1,500。,互斥，而且,所以,则不难发现这501个事件,红楼梦研究20121211a,由于,所以,红楼梦研究20121211a,解法二、显然,表示,所以,“500人中没有一人在今天过生日”，,我们可以求出,红楼梦研究20121211a,比较这两个结果你可以发现一个公式,即,事实上，,红楼梦研究20121211
12、a,第五节 独立性概念 积事件：设A,B是两个随机事件，称“事件A与B同时发生”这个事件为事件A与事件B的积事件，记作AB。类似地，用,表示一个新事件，该事件的发生等价于,这n个事件同时发生。,红楼梦研究20121211a,例如：,表示第k次投掷硬币出现正面，k=1,2,就表示“连续投掷硬币n次都出现正面”这个随机事件。,那么,红楼梦研究20121211a,定义：称事件A,B相互独立，如果,一般地，称一组事件相互独立，如果其中任意有限个同时发生的概率等于它们每一个发生的概率的乘积。 所以，如果知道事件相互独立，那么事件同时发生的概率就等于每一个发生的概率的积。,红楼梦研究20121211a,例
13、、求500人中至少有一人生日在今天的概率。,表示,不难理解,也是相互独立的一组事件，而且,方法三、用,第k个人在今天过生日，k=1,2,500。,则我们一般认为这500个事件相互独立。显然,红楼梦研究20121211a,所以，,红楼梦研究20121211a,连续投掷一枚硬币n次，计算其中恰好出现 k次正面的概率，,这个问题有如下三点要注意： （1）.每次试验（或观测）只有两种可能的结果，其 一记为 A,另一个就是,（2）.每次试验（或观测）结果不受其它试验（或观 测）结果的影响。即各次试验或观测相互独立。,（3）.每次A发生的概率都相同，记为,红楼梦研究20121211a,这个问题的答案就是二
14、项概率公式：,这种随机试验或观测我们叫做独立试验序列。在研究独立试验序列时，一个基本问题就是，n次试验中事件A恰好发生k次的概率是多少？,红楼梦研究20121211a,特别地,所以,每个人是否在今天过生日相互独立。所以500人中恰有k人在今天过生日的概率为,方法四、每个人在今天过生日的概率都是,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。,红楼梦研究20121211a,某车间有十台机床，彼此独立工作。据统计每台机床每小时有12分钟在工作，工作时需8千瓦的电力。供电部门供多少电给该车间合适呢？,该车间恰好有k台机床在同时工作的概率为,解：用A表示一台机床在工作，则,红楼梦研究20121211a,我们把恰好有0，1，2，10台机床在同时工作的概率都计算出来，列在下表里：,从表中数据可以看出，,所以，供给,千瓦电力就可以保证有0.9936的,概率不会误事。完全没有必要供给80千瓦的电力。,红楼梦研究20121211a,第五节 随机变量简介 随机变量是这样的一种“函数”，它把随机试验的每一个基本结果对应成一个实数。 例如，掷一枚硬币有两个基本结果，正面和反面。我们取X是这样的一种对应法则： 如果掷出正面，取X=1，如果掷出反面，取X=-1.则X就是一个随机变量，取-1和1两个值，到底取哪个在实验没有结束之前不能确定，即取值是随机的。,
